Номер 74, страница 16 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

74. Для функции $f$ на промежутке $I$ найдите первообразную, график которой проходит через указанную точку:

1) $f(x) = x^2, I = (-\infty; +\infty), M (1; -2);$

2) $f(x) = \sin x, I = (-\infty; +\infty), M \left(\frac{\pi}{3}; 1\right);$

3) $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}, I = \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right), M \left(\frac{\pi}{6}; \frac{\sqrt{3}}{3}\right);$

4) $f(x) = \frac{1}{x^4}, I = (-\infty; 0), M \left(-1; -\frac{2}{3}\right);$

5) $f(x) = \sqrt[3]{x}, I = (-\infty; +\infty), M(8;15).$

1)

Дана функция $f(x) = x^2$ на промежутке $I = (-\infty; +\infty)$ и точка $M(1; -2)$.

Общий вид первообразной для функции $f(x)$ находится путем интегрирования:

$F(x) = \int x^2 \,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Чтобы найти конкретную первообразную, график которой проходит через точку $M(1; -2)$, подставим координаты точки в уравнение первообразной: $F(1) = -2$.

$-2 = \frac{1^3}{3} + C$

$-2 = \frac{1}{3} + C$

$C = -2 - \frac{1}{3} = -\frac{6}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{7}{3}$

Таким образом, искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{7}{3}$

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{7}{3}$

2)

Дана функция $f(x) = \sin x$ на промежутке $I = (-\infty; +\infty)$ и точка $M(\frac{\pi}{3}; 1)$.

Общий вид первообразной для функции $f(x) = \sin x$:

$F(x) = \int \sin x \,dx = -\cos x + C$.

График первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{3}; 1)$, следовательно $F(\frac{\pi}{3}) = 1$.

Подставляем координаты точки в уравнение:

$1 = -\cos(\frac{\pi}{3}) + C$

Зная, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$1 = -\frac{1}{2} + C$

$C = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Искомая первообразная:

$F(x) = -\cos x + \frac{3}{2}$

Ответ: $F(x) = -\cos x + \frac{3}{2}$

3)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ на промежутке $I = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ и точка $M(\frac{\pi}{6}; \frac{\sqrt{3}}{3})$.

Общий вид первообразной для $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$:

$F(x) = \int \frac{1}{\cos^2 x} \,dx = \tan x + C$.

График первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{6}; \frac{\sqrt{3}}{3})$, значит $F(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Подставляем значения:

$\frac{\sqrt{3}}{3} = \tan(\frac{\pi}{6}) + C$

Так как $\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, получаем:

$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} + C$

$C = 0$

Искомая первообразная:

$F(x) = \tan x$

Ответ: $F(x) = \tan x$

4)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^4}$ на промежутке $I = (-\infty; 0)$ и точка $M(-1; -\frac{2}{3})$.

Представим функцию в виде $f(x) = x^{-4}$. Общий вид первообразной:

$F(x) = \int x^{-4} \,dx = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$.

График первообразной проходит через точку $M(-1; -\frac{2}{3})$, значит $F(-1) = -\frac{2}{3}$.

Подставляем значения:

$-\frac{2}{3} = -\frac{1}{3(-1)^3} + C$

$-\frac{2}{3} = -\frac{1}{-3} + C$

$-\frac{2}{3} = \frac{1}{3} + C$

$C = -\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{3}{3} = -1$

Искомая первообразная:

$F(x) = -\frac{1}{3x^3} - 1$

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3x^3} - 1$

5)

Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ на промежутке $I = (-\infty; +\infty)$ и точка $M(8; 15)$.

Представим функцию в виде $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$. Общий вид первообразной:

$F(x) = \int x^{\frac{1}{3}} \,dx = \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C$.

График первообразной проходит через точку $M(8; 15)$, значит $F(8) = 15$.

Подставляем значения:

$15 = \frac{3}{4}(8)^{\frac{4}{3}} + C$

Вычислим $8^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[3]{8})^4 = 2^4 = 16$.

$15 = \frac{3}{4} \cdot 16 + C$

$15 = 3 \cdot 4 + C$

$15 = 12 + C$

$C = 15 - 12 = 3$

Искомая первообразная:

$F(x) = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + 3$

Ответ: $F(x) = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + 3$