Номер 75, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

75. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = 3 - x$;

2) $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$;

3) $f(x) = 10x^4 + 14x^6$;

4) $f(x) = x^3 + \frac{6}{\sqrt{x}}$ на промежутке $(0; +\infty)$;

5) $f(x) = \frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^3}$ на промежутке $(0; +\infty)$;

6) $f(x) = 3\cos x - \frac{4}{\sin^2 x}$ на промежутке $(0; \pi)$;

7) $f(x) = 20\sqrt[4]{x} - 7x^6$ на промежутке $[0; +\infty)$.

1) Общий вид первообразных для функции $f(x)$ есть неопределенный интеграл $\int f(x) \,dx$.
Для функции $f(x) = 3 - x$ имеем:
$F(x) = \int (3 - x) \,dx = \int 3 \,dx - \int x \,dx = 3x - \frac{x^2}{2} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = 3x - \frac{x^2}{2} + C$.

2) Для функции $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ имеем:
$F(x) = \int (3x^2 - 2x + 1) \,dx = 3\int x^2 \,dx - 2\int x \,dx + \int 1 \,dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = x^3 - x^2 + x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = x^3 - x^2 + x + C$.

3) Для функции $f(x) = 10x^4 + 14x^6$ имеем:
$F(x) = \int (10x^4 + 14x^6) \,dx = 10\int x^4 \,dx + 14\int x^6 \,dx = 10 \cdot \frac{x^5}{5} + 14 \cdot \frac{x^7}{7} + C = 2x^5 + 2x^7 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = 2x^5 + 2x^7 + C$.

4) Для функции $f(x) = x^3 + \frac{6}{\sqrt{x}}$ на промежутке $(0; +\infty)$ преобразуем ее к виду $f(x) = x^3 + 6x^{-1/2}$.
Тогда первообразная равна:
$F(x) = \int (x^3 + 6x^{-1/2}) \,dx = \int x^3 \,dx + 6\int x^{-1/2} \,dx = \frac{x^4}{4} + 6 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{x^4}{4} + 12\sqrt{x} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} + 12\sqrt{x} + C$.

5) Для функции $f(x) = \frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^3}$ на промежутке $(0; +\infty)$ преобразуем ее к виду $f(x) = 2x^{-2} - 3x^{-3}$.
Тогда первообразная равна:
$F(x) = \int (2x^{-2} - 3x^{-3}) \,dx = 2\int x^{-2} \,dx - 3\int x^{-3} \,dx = 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} - 3 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{2}{x} + \frac{3}{2x^2} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = -\frac{2}{x} + \frac{3}{2x^2} + C$.

6) Для функции $f(x) = 3\cos x - \frac{4}{\sin^2 x}$ на промежутке $(0; \pi)$ используем табличные интегралы:
$F(x) = \int (3\cos x - \frac{4}{\sin^2 x}) \,dx = 3\int \cos x \,dx - 4\int \frac{1}{\sin^2 x} \,dx = 3\sin x - 4(-\cot x) + C = 3\sin x + 4\cot x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = 3\sin x + 4\cot x + C$.

7) Для функции $f(x) = 20\sqrt[4]{x} - 7x^6$ на промежутке $[0; +\infty)$ преобразуем ее к виду $f(x) = 20x^{1/4} - 7x^6$.
Тогда первообразная равна:
$F(x) = \int (20x^{1/4} - 7x^6) \,dx = 20\int x^{1/4} \,dx - 7\int x^6 \,dx = 20 \cdot \frac{x^{\frac{1}{4}+1}}{\frac{1}{4}+1} - 7 \cdot \frac{x^7}{7} + C = 20 \cdot \frac{x^{5/4}}{5/4} - x^7 + C = 16x^{5/4} - x^7 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = 16x^{5/4} - x^7 + C$.