Страница 17 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

75. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = 3 - x$;

2) $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$;

3) $f(x) = 10x^4 + 14x^6$;

4) $f(x) = x^3 + \frac{6}{\sqrt{x}}$ на промежутке $(0; +\infty)$;

5) $f(x) = \frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^3}$ на промежутке $(0; +\infty)$;

6) $f(x) = 3\cos x - \frac{4}{\sin^2 x}$ на промежутке $(0; \pi)$;

7) $f(x) = 20\sqrt[4]{x} - 7x^6$ на промежутке $[0; +\infty)$.

1) Общий вид первообразных для функции $f(x)$ есть неопределенный интеграл $\int f(x) \,dx$.
Для функции $f(x) = 3 - x$ имеем:
$F(x) = \int (3 - x) \,dx = \int 3 \,dx - \int x \,dx = 3x - \frac{x^2}{2} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = 3x - \frac{x^2}{2} + C$.

2) Для функции $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ имеем:
$F(x) = \int (3x^2 - 2x + 1) \,dx = 3\int x^2 \,dx - 2\int x \,dx + \int 1 \,dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = x^3 - x^2 + x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = x^3 - x^2 + x + C$.

3) Для функции $f(x) = 10x^4 + 14x^6$ имеем:
$F(x) = \int (10x^4 + 14x^6) \,dx = 10\int x^4 \,dx + 14\int x^6 \,dx = 10 \cdot \frac{x^5}{5} + 14 \cdot \frac{x^7}{7} + C = 2x^5 + 2x^7 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = 2x^5 + 2x^7 + C$.

4) Для функции $f(x) = x^3 + \frac{6}{\sqrt{x}}$ на промежутке $(0; +\infty)$ преобразуем ее к виду $f(x) = x^3 + 6x^{-1/2}$.
Тогда первообразная равна:
$F(x) = \int (x^3 + 6x^{-1/2}) \,dx = \int x^3 \,dx + 6\int x^{-1/2} \,dx = \frac{x^4}{4} + 6 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{x^4}{4} + 12\sqrt{x} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} + 12\sqrt{x} + C$.

5) Для функции $f(x) = \frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^3}$ на промежутке $(0; +\infty)$ преобразуем ее к виду $f(x) = 2x^{-2} - 3x^{-3}$.
Тогда первообразная равна:
$F(x) = \int (2x^{-2} - 3x^{-3}) \,dx = 2\int x^{-2} \,dx - 3\int x^{-3} \,dx = 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} - 3 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{2}{x} + \frac{3}{2x^2} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = -\frac{2}{x} + \frac{3}{2x^2} + C$.

6) Для функции $f(x) = 3\cos x - \frac{4}{\sin^2 x}$ на промежутке $(0; \pi)$ используем табличные интегралы:
$F(x) = \int (3\cos x - \frac{4}{\sin^2 x}) \,dx = 3\int \cos x \,dx - 4\int \frac{1}{\sin^2 x} \,dx = 3\sin x - 4(-\cot x) + C = 3\sin x + 4\cot x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = 3\sin x + 4\cot x + C$.

7) Для функции $f(x) = 20\sqrt[4]{x} - 7x^6$ на промежутке $[0; +\infty)$ преобразуем ее к виду $f(x) = 20x^{1/4} - 7x^6$.
Тогда первообразная равна:
$F(x) = \int (20x^{1/4} - 7x^6) \,dx = 20\int x^{1/4} \,dx - 7\int x^6 \,dx = 20 \cdot \frac{x^{\frac{1}{4}+1}}{\frac{1}{4}+1} - 7 \cdot \frac{x^7}{7} + C = 20 \cdot \frac{x^{5/4}}{5/4} - x^7 + C = 16x^{5/4} - x^7 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = 16x^{5/4} - x^7 + C$.

76. Для функции $f$ на промежутке $I$ найдите первообразную $F$, удовлетворяющую данному условию:

1) $f(x) = 6x^2 + 4x - 3$, $I = (-\infty; +\infty)$, $F(-2) = -3$;

2) $f(x) = 15x^{14} - \frac{5}{4\sqrt{x}}$, $I = (0; +\infty)$, $F(1) = 0$;

3) $f(x) = 3 - \frac{1}{x^2}$, $I = (0; +\infty)$, $F(0,5) = 7$.

1) Для функции $f(x) = 6x^2 + 4x - 3$ на промежутке $I = (-\infty; +\infty)$ найдем первообразную $F$, удовлетворяющую условию $F(-2) = -3$.

Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x)$, вычислив неопределенный интеграл. Используем правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int (6x^2 + 4x - 3)dx = 6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - 3x + C = 6 \cdot \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x + C = 2x^3 + 2x^2 - 3x + C$.

Общий вид первообразной: $F(x) = 2x^3 + 2x^2 - 3x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Теперь используем данное условие $F(-2) = -3$, чтобы найти значение $C$. Подставим $x = -2$ в выражение для $F(x)$:

$F(-2) = 2(-2)^3 + 2(-2)^2 - 3(-2) + C = 2(-8) + 2(4) + 6 + C = -16 + 8 + 6 + C = -2 + C$.

Так как $F(-2) = -3$, получаем уравнение:

$-2 + C = -3$

$C = -3 + 2 = -1$.

Подставив найденное значение $C = -1$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:

$F(x) = 2x^3 + 2x^2 - 3x - 1$.

Ответ: $F(x) = 2x^3 + 2x^2 - 3x - 1$.

2) Для функции $f(x) = 15x^{14} - \frac{5}{4\sqrt{x}}$ на промежутке $I = (0; +\infty)$ найдем первообразную $F$, удовлетворяющую условию $F(1) = 0$.

Сначала представим функцию в виде, удобном для интегрирования: $f(x) = 15x^{14} - \frac{5}{4}x^{-1/2}$.

Найдем общий вид первообразной, используя правило интегрирования степенной функции:

$F(x) = \int (15x^{14} - \frac{5}{4}x^{-1/2})dx = 15 \cdot \frac{x^{14+1}}{14+1} - \frac{5}{4} \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 15 \frac{x^{15}}{15} - \frac{5}{4} \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = x^{15} - \frac{5}{4} \cdot 2x^{1/2} + C = x^{15} - \frac{5}{2}\sqrt{x} + C$.

Общий вид первообразной: $F(x) = x^{15} - \frac{5}{2}\sqrt{x} + C$.

Используем условие $F(1) = 0$ для нахождения константы $C$. Подставим $x = 1$:

$F(1) = 1^{15} - \frac{5}{2}\sqrt{1} + C = 1 - \frac{5}{2} + C = -\frac{3}{2} + C$.

Так как $F(1) = 0$, получаем уравнение:

$-\frac{3}{2} + C = 0$

$C = \frac{3}{2}$.

Подставляем найденное значение $C$ в общий вид первообразной:

$F(x) = x^{15} - \frac{5}{2}\sqrt{x} + \frac{3}{2}$.

Ответ: $F(x) = x^{15} - \frac{5}{2}\sqrt{x} + \frac{3}{2}$.

3) Для функции $f(x) = 3 - \frac{1}{x^2}$ на промежутке $I = (0; +\infty)$ найдем первообразную $F$, удовлетворяющую условию $F(0,5) = 7$.

Представим функцию в виде $f(x) = 3 - x^{-2}$.

Найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int (3 - x^{-2})dx = 3x - \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = 3x - \frac{x^{-1}}{-1} + C = 3x + x^{-1} + C = 3x + \frac{1}{x} + C$.

Общий вид первообразной: $F(x) = 3x + \frac{1}{x} + C$.

Используем условие $F(0,5) = 7$. Подставим $x = 0,5$:

$F(0,5) = 3(0,5) + \frac{1}{0,5} + C = 1,5 + 2 + C = 3,5 + C$.

Так как $F(0,5) = 7$, получаем уравнение:

$3,5 + C = 7$

$C = 7 - 3,5 = 3,5$.

Подставляем найденное значение $C$ в общий вид первообразной:

$F(x) = 3x + \frac{1}{x} + 3,5$.

Ответ: $F(x) = 3x + \frac{1}{x} + 3,5$.

77. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = (3x - 1)^3$;

2) $f(x) = \cos 7x$;

3) $f(x) = \sin \frac{x}{5}$;

4) $f(x) = \frac{4}{\cos^2 \frac{x}{6}}$ на промежутке $(-3\pi; 3\pi)$;

5) $f(x) = \frac{4}{\sqrt{2x - 1}}$ на промежутке $(\frac{1}{2}; +\infty)$;

6) $f(x) = \frac{1}{(4x + 3)^2}$ на промежутке $(-\frac{3}{4}; +\infty)$;

7) $f(x) = 3^{2x} \ln 3$;

8) $f(x) = e^{-5x}$;

9) $f(x) = e^{2x} - 7^{\frac{x}{3}}$;

10) $f(x) = 2^{-x} \ln 2 + e^{-0,5x}$;

11) $f(x) = 6e^{3x-4} + 8e^{1-4x}$.

1) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = (3x - 1)^3$ используем формулу интегрирования степенной функции со сложным аргументом: $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.
В нашем случае $k=3$, $b=-1$, $n=3$.
$F(x) = \int (3x - 1)^3 dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-1)^{3+1}}{3+1} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-1)^4}{4} + C = \frac{(3x-1)^4}{12} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{(3x-1)^4}{12} + C$.

2) Для функции $f(x) = \cos(7x)$ используем формулу для первообразной косинуса: $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$.
Здесь $k=7$.
$F(x) = \int \cos(7x) dx = \frac{1}{7}\sin(7x) + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{7}\sin(7x) + C$.

3) Для функции $f(x) = \sin(\frac{x}{5})$ используем формулу для первообразной синуса: $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$.
Здесь $k = \frac{1}{5}$.
$F(x) = \int \sin(\frac{x}{5}) dx = -\frac{1}{1/5}\cos(\frac{x}{5}) + C = -5\cos(\frac{x}{5}) + C$.
Ответ: $F(x) = -5\cos(\frac{x}{5}) + C$.

4) Для функции $f(x) = \frac{4}{\cos^2(\frac{x}{6})}$ используем табличную первообразную для $\frac{1}{\cos^2(x)}$, которая равна $\tan(x)$, и правило для сложного аргумента: $\int \frac{dx}{\cos^2(kx)} = \frac{1}{k}\tan(kx) + C$.
$F(x) = 4 \int \frac{dx}{\cos^2(\frac{x}{6})} = 4 \cdot \frac{1}{1/6} \tan(\frac{x}{6}) + C = 4 \cdot 6 \tan(\frac{x}{6}) + C = 24\tan(\frac{x}{6}) + C$.
Данная первообразная определена на всем промежутке $(-3\pi; 3\pi)$.
Ответ: $F(x) = 24\tan(\frac{x}{6}) + C$.

5) Функцию $f(x) = \frac{4}{\sqrt{2x - 1}}$ представим в виде $f(x) = 4(2x-1)^{-1/2}$ и используем формулу для степенной функции $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.
Здесь $k=2$, $b=-1$, $n=-1/2$.
$F(x) = 4 \int (2x-1)^{-1/2} dx = 4 \cdot \frac{1}{2} \frac{(2x-1)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 2 \frac{(2x-1)^{1/2}}{1/2} + C = 4\sqrt{2x-1} + C$.
Ответ: $F(x) = 4\sqrt{2x-1} + C$.

6) Функцию $f(x) = \frac{1}{(4x+3)^2}$ представим в виде $f(x) = (4x+3)^{-2}$ и используем формулу для степенной функции $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.
Здесь $k=4$, $b=3$, $n=-2$.
$F(x) = \int (4x+3)^{-2} dx = \frac{1}{4} \frac{(4x+3)^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{1}{4} \frac{(4x+3)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{4(4x+3)} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{4(4x+3)} + C$.

7) Для функции $f(x) = 3^{2x} \ln 3$ заметим, что производная показательной функции $(a^{kx})' = a^{kx} \cdot \ln a \cdot k$.
Найдем производную от $3^{2x}$: $(3^{2x})' = 3^{2x} \ln 3 \cdot 2$.
Исходная функция в 2 раза меньше, чем производная от $3^{2x}$. Следовательно, искомая первообразная будет $F(x) = \frac{1}{2} \cdot 3^{2x} + C$.
$F(x) = \int 3^{2x} \ln 3 dx = \ln 3 \int 3^{2x} dx = \ln 3 \cdot \frac{3^{2x}}{2 \ln 3} + C = \frac{3^{2x}}{2} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{3^{2x}}{2} + C$.

8) Для функции $f(x) = e^{-5x}$ используем формулу для первообразной экспоненты: $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$.
Здесь $k=-5$.
$F(x) = \int e^{-5x} dx = \frac{1}{-5}e^{-5x} + C = -\frac{1}{5}e^{-5x} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{5}e^{-5x} + C$.

9) Для функции $f(x) = e^{2x} - 7^{\frac{x}{3}}$ находим первообразную для каждого слагаемого по отдельности.
Первообразная для $e^{2x}$ равна $\frac{1}{2}e^{2x}$.
Для $7^{\frac{x}{3}}$ используем формулу $\int a^{kx} dx = \frac{a^{kx}}{k \ln a} + C$. Здесь $a=7, k=1/3$.
$\int 7^{\frac{x}{3}} dx = \frac{7^{x/3}}{(1/3)\ln 7} = \frac{3 \cdot 7^{x/3}}{\ln 7}$.
Общий вид первообразной: $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - \frac{3 \cdot 7^{x/3}}{\ln 7} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - \frac{3 \cdot 7^{x/3}}{\ln 7} + C$.

10) Для функции $f(x) = 2^{-x} \ln 2 + e^{-0.5x}$ находим первообразную для каждого слагаемого.
Для первого слагаемого заметим, что $(2^{-x})' = 2^{-x} \ln 2 \cdot (-1) = -2^{-x}\ln 2$. Значит, $\int 2^{-x}\ln 2 dx = -2^{-x}$.
Для второго слагаемого: $\int e^{-0.5x} dx = \frac{1}{-0.5}e^{-0.5x} = -2e^{-0.5x}$.
Складывая результаты, получаем: $F(x) = -2^{-x} - 2e^{-0.5x} + C$.
Ответ: $F(x) = -2^{-x} - 2e^{-0.5x} + C$.

11) Для функции $f(x) = 6e^{3x-4} + 8e^{1-4x}$ находим первообразную для каждого слагаемого.
Для первого слагаемого: $\int 6e^{3x-4} dx = 6 \cdot \frac{1}{3} e^{3x-4} = 2e^{3x-4}$.
Для второго слагаемого: $\int 8e^{1-4x} dx = 8 \cdot \frac{1}{-4} e^{1-4x} = -2e^{1-4x}$.
Общий вид первообразной: $F(x) = 2e^{3x-4} - 2e^{1-4x} + C$.
Ответ: $F(x) = 2e^{3x-4} - 2e^{1-4x} + C$.