Страница 18 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

78. Для функции $f$ на промежутке $I$ найдите первообразную $F$, график которой проходит через данную точку:

1) $f(x) = \frac{1}{3}\sin \frac{x}{3} + 4\cos 4x, I = (-\infty; +\infty), A(\pi; 3);$

2) $f(x) = \frac{2}{\sin^2 \left(4x - \frac{\pi}{12}\right)}, I = \left(\frac{\pi}{48}; \frac{13\pi}{48}\right), A\left(\frac{\pi}{16}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

3) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{9x - 2}}, I = \left(\frac{2}{9}; +\infty\right), A(3; 1);$

4) $f(x) = 6^x \ln 6 - 10^x \ln 10, I = (-\infty; +\infty), A(1; 6);$

5) $f(x) = 6x^2 + e^{4x}, I = (-\infty; +\infty), A\left(\frac{1}{2}; \frac{e^2}{4}\right);$

6) $f(x) = \frac{4}{2x - 3}, I = \left(\frac{3}{2}; +\infty\right), M(4; \ln 0,2);$

7) $f(x) = e^{-x} + \frac{1}{3x - 1}, I = \left(-\infty; \frac{1}{3}\right), M(0; 0);$

8) $f(x) = \frac{3}{2\sqrt{x + 4}} + \frac{4}{x - 4}, I = (4; +\infty), M(5; -2).$

1)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}\sin\frac{x}{3} + 4\cos 4x$ и точка $A(\pi; 3)$.

Первым шагом найдем общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x)$, вычислив неопределенный интеграл:

$F(x) = \int \left(\frac{1}{3}\sin\frac{x}{3} + 4\cos 4x\right) dx = \frac{1}{3} \int \sin\frac{x}{3} dx + 4 \int \cos 4x dx$

Используя стандартные правила интегрирования, получаем:

$\int \sin\frac{x}{3} dx = \frac{-\cos(x/3)}{1/3} = -3\cos\frac{x}{3}$

$\int \cos 4x dx = \frac{\sin 4x}{4}$

Подставляем обратно в выражение для $F(x)$:

$F(x) = \frac{1}{3} \left(-3\cos\frac{x}{3}\right) + 4 \left(\frac{\sin 4x}{4}\right) + C = -\cos\frac{x}{3} + \sin 4x + C$

Теперь используем координаты точки $A(\pi; 3)$, чтобы найти константу $C$. Мы знаем, что $F(\pi) = 3$.

$F(\pi) = -\cos\frac{\pi}{3} + \sin(4\pi) + C = 3$

$-\frac{1}{2} + 0 + C = 3$

$C = 3 + \frac{1}{2} = 3.5$

Таким образом, искомая первообразная:

Ответ: $F(x) = -\cos\frac{x}{3} + \sin 4x + 3.5$

2)

Дана функция $f(x) = \frac{2}{\sin^2(4x - \frac{\pi}{12})}$ и точка $A(\frac{\pi}{16}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Найдем общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int \frac{2}{\sin^2(4x - \frac{\pi}{12})} dx = 2 \int \frac{1}{\sin^2(4x - \frac{\pi}{12})} dx$

Используя формулу $\int \frac{1}{\sin^2(kx+b)} dx = -\frac{1}{k}\cot(kx+b) + C$, получаем:

$F(x) = 2 \left(-\frac{1}{4}\cot\left(4x - \frac{\pi}{12}\right)\right) + C = -\frac{1}{2}\cot\left(4x - \frac{\pi}{12}\right) + C$

Теперь используем координаты точки $A(\frac{\pi}{16}; \frac{\sqrt{3}}{2})$ для нахождения $C$. Мы знаем, что $F(\frac{\pi}{16}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$F\left(\frac{\pi}{16}\right) = -\frac{1}{2}\cot\left(4\cdot\frac{\pi}{16} - \frac{\pi}{12}\right) + C = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$-\frac{1}{2}\cot\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{12}\right) + C = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$-\frac{1}{2}\cot\left(\frac{3\pi - \pi}{12}\right) + C = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$-\frac{1}{2}\cot\left(\frac{2\pi}{12}\right) + C = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$-\frac{1}{2}\cot\left(\frac{\pi}{6}\right) + C = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Так как $\cot(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$:

$-\frac{1}{2}\sqrt{3} + C = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$C = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Таким образом, искомая первообразная:

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2}\cot\left(4x - \frac{\pi}{12}\right) + \sqrt{3}$

3)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt{9x - 2}}$ и точка $A(3; 1)$.

Найдем общий вид первообразной $F(x)$, представив функцию в виде $(9x-2)^{-1/2}$:

$F(x) = \int (9x - 2)^{-1/2} dx$

Используя формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$:

$F(x) = \frac{1}{9}\frac{(9x - 2)^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = \frac{1}{9}\frac{(9x - 2)^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{9}\sqrt{9x - 2} + C$

Используем координаты точки $A(3; 1)$, чтобы найти $C$: $F(3) = 1$.

$F(3) = \frac{2}{9}\sqrt{9 \cdot 3 - 2} + C = 1$

$\frac{2}{9}\sqrt{27 - 2} + C = 1$

$\frac{2}{9}\sqrt{25} + C = 1$

$\frac{2}{9} \cdot 5 + C = 1$

$\frac{10}{9} + C = 1$

$C = 1 - \frac{10}{9} = -\frac{1}{9}$

Искомая первообразная:

Ответ: $F(x) = \frac{2}{9}\sqrt{9x - 2} - \frac{1}{9}$

4)

Дана функция $f(x) = 6^x \ln 6 - 10^x \ln 10$ и точка $A(1; 6)$.

Найдем общий вид первообразной $F(x)$. Заметим, что данная функция является производной от разности двух показательных функций. Вспомним, что $(a^x)' = a^x \ln a$.

$F(x) = \int (6^x \ln 6 - 10^x \ln 10) dx = \int (6^x)' dx - \int (10^x)' dx = 6^x - 10^x + C$

Используем координаты точки $A(1; 6)$, чтобы найти $C$: $F(1) = 6$.

$F(1) = 6^1 - 10^1 + C = 6$

$6 - 10 + C = 6$

$-4 + C = 6$

$C = 10$

Искомая первообразная:

Ответ: $F(x) = 6^x - 10^x + 10$

5)

Дана функция $f(x) = 6x^2 + e^{4x}$ и точка $A(\frac{1}{2}; \frac{e^2}{4})$.

Найдем общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int (6x^2 + e^{4x}) dx = \int 6x^2 dx + \int e^{4x} dx$

$F(x) = 6\frac{x^3}{3} + \frac{e^{4x}}{4} + C = 2x^3 + \frac{1}{4}e^{4x} + C$

Используем координаты точки $A(\frac{1}{2}; \frac{e^2}{4})$, чтобы найти $C$: $F(\frac{1}{2}) = \frac{e^2}{4}$.

$F(\frac{1}{2}) = 2\left(\frac{1}{2}\right)^3 + \frac{1}{4}e^{4 \cdot \frac{1}{2}} + C = \frac{e^2}{4}$

$2\left(\frac{1}{8}\right) + \frac{1}{4}e^{2} + C = \frac{e^2}{4}$

$\frac{1}{4} + \frac{e^2}{4} + C = \frac{e^2}{4}$

$C = -\frac{1}{4}$

Искомая первообразная:

Ответ: $F(x) = 2x^3 + \frac{1}{4}e^{4x} - \frac{1}{4}$

6)

Дана функция $f(x) = \frac{4}{2x - 3}$ и точка $M(4; \ln 0.2)$.

Найдем общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int \frac{4}{2x - 3} dx = 4 \int \frac{1}{2x - 3} dx$

Используя формулу $\int \frac{1}{kx+b} dx = \frac{1}{k}\ln|kx+b| + C$:

$F(x) = 4 \left(\frac{1}{2}\ln|2x - 3|\right) + C = 2\ln|2x - 3| + C$

На заданном промежутке $I = (\frac{3}{2}; +\infty)$ выражение $2x-3 > 0$, поэтому модуль можно опустить: $F(x) = 2\ln(2x - 3) + C$.

Используем координаты точки $M(4; \ln 0.2)$, чтобы найти $C$: $F(4) = \ln 0.2$.

$F(4) = 2\ln(2 \cdot 4 - 3) + C = \ln 0.2$

$2\ln(8 - 3) + C = \ln 0.2$

$2\ln 5 + C = \ln 0.2$

$\ln(5^2) + C = \ln 0.2$

$\ln 25 + C = \ln 0.2$

$C = \ln 0.2 - \ln 25 = \ln\left(\frac{0.2}{25}\right) = \ln\left(\frac{1/5}{25}\right) = \ln\left(\frac{1}{125}\right) = -\ln 125$

Искомая первообразная:

Ответ: $F(x) = 2\ln(2x - 3) - \ln 125$

7)

Дана функция $f(x) = e^{-x} + \frac{1}{3x - 1}$ и точка $M(0; 0)$.

Найдем общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int \left(e^{-x} + \frac{1}{3x - 1}\right) dx = \int e^{-x} dx + \int \frac{1}{3x - 1} dx$

$F(x) = \frac{e^{-x}}{-1} + \frac{1}{3}\ln|3x - 1| + C = -e^{-x} + \frac{1}{3}\ln|3x - 1| + C$

На заданном промежутке $I = (-\infty; \frac{1}{3})$ выражение $3x-1 < 0$, поэтому $|3x-1| = -(3x-1) = 1-3x$.

$F(x) = -e^{-x} + \frac{1}{3}\ln(1 - 3x) + C$

Используем координаты точки $M(0; 0)$, чтобы найти $C$: $F(0) = 0$.

$F(0) = -e^{-0} + \frac{1}{3}\ln(1 - 3 \cdot 0) + C = 0$

$-1 + \frac{1}{3}\ln 1 + C = 0$

$-1 + 0 + C = 0$

$C = 1$

Искомая первообразная:

Ответ: $F(x) = -e^{-x} + \frac{1}{3}\ln(1 - 3x) + 1$

8)

Дана функция $f(x) = \frac{3}{2\sqrt{x+4}} + \frac{4}{x-4}$ и точка $M(5; -2)$. (Примечание: в оригинальном условии есть неоднозначность записи первого слагаемого, используется наиболее вероятная интерпретация $f(x) = \frac{3}{2\sqrt{x+4}}$)

Найдем общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int \left(\frac{3}{2\sqrt{x+4}} + \frac{4}{x-4}\right) dx = \frac{3}{2} \int (x+4)^{-1/2} dx + 4 \int \frac{1}{x-4} dx$

Для первого интеграла: $\frac{3}{2} \frac{(x+4)^{1/2}}{1/2} = 3\sqrt{x+4}$.

Для второго интеграла: $4\ln|x-4|$. На промежутке $I=(4; +\infty)$ имеем $x-4>0$, поэтому $4\ln(x-4)$.

$F(x) = 3\sqrt{x+4} + 4\ln(x-4) + C$

Используем координаты точки $M(5; -2)$, чтобы найти $C$: $F(5) = -2$.

$F(5) = 3\sqrt{5+4} + 4\ln(5-4) + C = -2$

$3\sqrt{9} + 4\ln 1 + C = -2$

$3 \cdot 3 + 4 \cdot 0 + C = -2$

$9 + C = -2$

$C = -11$

Искомая первообразная:

Ответ: $F(x) = 3\sqrt{x+4} + 4\ln(x-4) - 11$

79. Найдите первообразную функции $f(x) = 2x - 1$, один из нулей которой равен 3.

Чтобы найти первообразную функции $f(x) = 2x - 1$, мы должны найти ее неопределенный интеграл. Общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x)$ имеет вид:

$F(x) = \int f(x) dx = \int (2x - 1) dx$

Используя правила интегрирования, получаем:

$F(x) = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - 1 \cdot x + C = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C = x^2 - x + C$

Здесь $C$ — это произвольная постоянная (константа интегрирования).

По условию задачи, один из нулей первообразной равен 3. Это означает, что $F(3) = 0$. Подставим это значение в найденное выражение для $F(x)$, чтобы найти константу $C$:

$F(3) = 3^2 - 3 + C = 0$

$9 - 3 + C = 0$

$6 + C = 0$

$C = -6$

Таким образом, искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = x^2 - x - 6$

Ответ: $F(x) = x^2 - x - 6$

80. Найдите первообразную функции $f(x) = 3x^2 - 12x + 3$, один из нулей которой равен $-1$.

Для того чтобы найти первообразную функции $f(x)$, необходимо найти ее неопределенный интеграл. Обозначим искомую первообразную как $F(x)$.

Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 3x^2 - 12x + 3$ путем интегрирования каждого слагаемого:
$F(x) = \int (3x^2 - 12x + 3) dx = \int 3x^2 dx - \int 12x dx + \int 3 dx$
Используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$, получим:
$F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 12 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C$
$F(x) = x^3 - 6x^2 + 3x + C$
Здесь $C$ — это константа интегрирования, которую нам предстоит найти.

По условию задачи, один из нулей первообразной равен -1. Это значит, что при $x = -1$ значение функции $F(x)$ равно 0, то есть $F(-1) = 0$. Подставим это значение в общее выражение для первообразной, чтобы найти $C$:
$F(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 + 3(-1) + C = 0$
Выполним вычисления:
$-1 - 6(1) - 3 + C = 0$
$-1 - 6 - 3 + C = 0$
$-10 + C = 0$
Из этого уравнения находим значение константы:
$C = 10$

Теперь, подставив найденное значение $C=10$ в общий вид первообразной, мы получаем искомую функцию:
$F(x) = x^3 - 6x^2 + 3x + 10$

Ответ: $F(x) = x^3 - 6x^2 + 3x + 10$

81. Скорость материальной точки, которая движется по координатной прямой, изменяется по закону $v(t) = 9t^2 + 1$.

Найдите формулу, которая выражает зависимость координаты точки от времени, если в момент времени $t = 2$ с точка находилась на расстоянии 42 м от начала координат (скорость движения измеряется в метрах в секунду).

Для нахождения формулы зависимости координаты точки от времени $s(t)$ необходимо найти первообразную (интеграл) от функции скорости $v(t)$, так как скорость является производной координаты по времени: $v(t) = s'(t)$.

Заданный закон изменения скорости: $v(t) = 9t^2 + 1$.

Найдем общий вид первообразной для функции $v(t)$, вычислив неопределенный интеграл:

$s(t) = \int v(t) \,dt = \int (9t^2 + 1) \,dt$

Используя правила интегрирования, получаем:

$s(t) = 9 \cdot \frac{t^{2+1}}{2+1} + 1 \cdot t + C = 9 \cdot \frac{t^3}{3} + t + C = 3t^3 + t + C$.

Здесь $C$ — это константа интегрирования. Для ее нахождения воспользуемся начальным условием, данным в задаче: в момент времени $t = 2$ с точка находилась на расстоянии 42 м от начала координат, то есть $s(2) = 42$.

Подставим эти значения в полученное уравнение для $s(t)$:

$s(2) = 3 \cdot (2)^3 + 2 + C = 42$

Выполним вычисления:

$3 \cdot 8 + 2 + C = 42$

$24 + 2 + C = 42$

$26 + C = 42$

Отсюда находим $C$:

$C = 42 - 26$

$C = 16$

Теперь подставим найденное значение константы $C=16$ в общую формулу для координаты:

$s(t) = 3t^3 + t + 16$.

Это и есть искомая формула зависимости координаты точки от времени.

Ответ: $s(t) = 3t^3 + t + 16$.