Страница 23 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

93. Найдите площадь фигуры, ограниченной:

1) параболой $y = 6 - x^2$ и прямой $y = 2$;

2) параболой $y = 4 - x^2$ и прямой $y = x + 2$;

3) параболой $y = -x^2 - 4x$, прямой $y = 4$ и осью ординат;

4) параболой $y = x^2 + 2x + 2$ и прямой $y = 2x + 3$;

5) графиками функций $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{1}{3}x$;

6) параболами $y = -x^2 + 2x + 1$ и $y = x^2 - 4x + 5$;

7) графиком функции $y = 2^x$ и прямыми $x = 0, y = 4$;

8) графиком функции $y = \frac{4}{x}$ и прямыми $x = 1, y = 2$;

9) графиком функции $y = \frac{5}{x}$ и прямыми $y = 5, x = 5$;

10) графиком функции $y = \frac{2}{x}$ и прямыми $y = x - 1$, $x = 3$;

11) графиками функций $y = x^4$, $y = \frac{1}{x}$ и прямой $x = 2$.

1)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой $y = 6 - x^2$ и прямой $y = 2$, сначала найдем точки их пересечения, чтобы определить пределы интегрирования.
$6 - x^2 = 2$
$x^2 = 4$
$x_1 = -2, x_2 = 2$.
Пределы интегрирования: от -2 до 2.
В интервале $[-2, 2]$ парабола $y = 6 - x^2$ находится выше прямой $y = 2$ (например, при $x=0$, $y=6 > 2$).
Площадь $S$ вычисляется как интеграл разности верхней и нижней функций:
$S = \int_{-2}^{2} ((6 - x^2) - 2) \,dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \,dx$.
Так как подынтегральная функция четная, можно упростить вычисление:
$S = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) \,dx = 2 \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 2 \left( (4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}) - 0 \right) = 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{24 - 8}{3} \right) = 2 \cdot \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$.

Ответ: $\frac{32}{3}$

2)

Найдем точки пересечения параболы $y = 4 - x^2$ и прямой $y = x + 2$.
$4 - x^2 = x + 2$
$x^2 + x - 2 = 0$
$(x + 2)(x - 1) = 0$
$x_1 = -2, x_2 = 1$.
Пределы интегрирования: от -2 до 1.
В интервале $(-2, 1)$ проверим, какая функция больше. При $x=0$, $y = 4 - 0^2 = 4$ (парабола) и $y = 0 + 2 = 2$ (прямая). Значит, парабола является верхней границей.
$S = \int_{-2}^{1} ((4 - x^2) - (x + 2)) \,dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) \,dx$.
$S = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1} = \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2\right) - \left(-\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2)\right) = \left(\frac{-2-3+12}{6}\right) - \left(\frac{8}{3} - 2 - 4\right) = \frac{7}{6} - \left(\frac{8-18}{3}\right) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = \frac{7+20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.

Ответ: $\frac{9}{2}$

3)

Фигура ограничена параболой $y = -x^2 - 4x$, прямой $y = 4$ и осью ординат ($x=0$).
Вершина параболы $y = -(x^2 + 4x + 4 - 4) = -(x+2)^2 + 4$ находится в точке $(-2, 4)$.
Прямая $y=4$ проходит через вершину параболы. Ось ординат ($x=0$) пересекает параболу в точке $(0,0)$.
Таким образом, фигура ограничена сверху прямой $y=4$, снизу параболой $y = -x^2 - 4x$, слева прямой $x=-2$ (абсцисса вершины) и справа осью ординат $x=0$.
$S = \int_{-2}^{0} (4 - (-x^2 - 4x)) \,dx = \int_{-2}^{0} (x^2 + 4x + 4) \,dx = \int_{-2}^{0} (x+2)^2 \,dx$.
$S = \left[ \frac{(x+2)^3}{3} \right]_{-2}^{0} = \frac{(0+2)^3}{3} - \frac{(-2+2)^3}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$

4)

Найдем точки пересечения параболы $y = x^2 + 2x + 2$ и прямой $y = 2x + 3$.
$x^2 + 2x + 2 = 2x + 3$
$x^2 = 1$
$x_1 = -1, x_2 = 1$.
Пределы интегрирования: от -1 до 1.
В интервале $(-1, 1)$ при $x=0$, $y=2$ (парабола) и $y=3$ (прямая). Прямая является верхней границей.
$S = \int_{-1}^{1} ((2x + 3) - (x^2 + 2x + 2)) \,dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \,dx$.
$S = 2 \int_{0}^{1} (1 - x^2) \,dx = 2 \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$

5)

Найдем точки пересечения графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{1}{3}x$.
$\sqrt{x} = \frac{1}{3}x \implies x = \frac{1}{9}x^2 \implies x^2 - 9x = 0 \implies x(x-9)=0$.
$x_1 = 0, x_2 = 9$.
Пределы интегрирования: от 0 до 9.
В интервале $(0, 9)$ при $x=1$, $y=1$ и $y=1/3$. Значит, $y=\sqrt{x}$ — верхняя граница.
$S = \int_{0}^{9} \left(\sqrt{x} - \frac{1}{3}x\right) \,dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}\frac{x^2}{2} \right]_{0}^{9} = \left[ \frac{2}{3}x\sqrt{x} - \frac{x^2}{6} \right]_{0}^{9}$.
$S = \left(\frac{2}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt{9} - \frac{9^2}{6}\right) - 0 = \left(18 - \frac{81}{6}\right) = 18 - \frac{27}{2} = \frac{36-27}{2} = \frac{9}{2}$.

Ответ: $\frac{9}{2}$

6)

Найдем точки пересечения парабол $y = -x^2 + 2x + 1$ и $y = x^2 - 4x + 5$.
$-x^2 + 2x + 1 = x^2 - 4x + 5$
$2x^2 - 6x + 4 = 0$
$x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x-1)(x-2)=0$.
$x_1 = 1, x_2 = 2$.
Пределы интегрирования: от 1 до 2.
Ветви первой параболы направлены вниз, второй — вверх, значит, в интервале между точками пересечения первая парабола будет выше.
$S = \int_{1}^{2} ((-x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 4x + 5)) \,dx = \int_{1}^{2} (-2x^2 + 6x - 4) \,dx$.
$S = \left[ -2\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 4x \right]_{1}^{2} = \left(-\frac{2 \cdot 8}{3} + 3 \cdot 4 - 4 \cdot 2\right) - \left(-\frac{2}{3} + 3 - 4\right) = \left(-\frac{16}{3} + 4\right) - \left(-\frac{2}{3} - 1\right) = -\frac{4}{3} - \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

7)

Фигура ограничена графиком $y = 2^x$, прямой $x=0$ (ось ординат) и прямой $y=4$.
Найдем точку пересечения $y=2^x$ и $y=4$: $2^x = 4 \implies x=2$.
Фигура ограничена сверху прямой $y=4$, снизу кривой $y=2^x$, слева прямой $x=0$ и справа прямой $x=2$.
$S = \int_{0}^{2} (4 - 2^x) \,dx = \left[ 4x - \frac{2^x}{\ln 2} \right]_{0}^{2} = \left(4 \cdot 2 - \frac{2^2}{\ln 2}\right) - \left(4 \cdot 0 - \frac{2^0}{\ln 2}\right) = \left(8 - \frac{4}{\ln 2}\right) - \left(-\frac{1}{\ln 2}\right) = 8 - \frac{3}{\ln 2}$.

Ответ: $8 - \frac{3}{\ln 2}$

8)

Фигура ограничена графиком $y = \frac{4}{x}$, прямой $x=1$ и прямой $y=2$.
Найдем точку пересечения $y=\frac{4}{x}$ и $y=2$: $\frac{4}{x}=2 \implies x=2$.
На отрезке $[1, 2]$ график $y=\frac{4}{x}$ находится выше прямой $y=2$ (при $x=1, y=4>2$).
$S = \int_{1}^{2} \left(\frac{4}{x} - 2\right) \,dx = \left[ 4\ln|x| - 2x \right]_{1}^{2} = (4\ln 2 - 2 \cdot 2) - (4\ln 1 - 2 \cdot 1) = (4\ln 2 - 4) - (0 - 2) = 4\ln 2 - 2$.

Ответ: $4\ln 2 - 2$

9)

Фигура ограничена графиком $y = \frac{5}{x}$, прямой $y=5$ и прямой $x=5$.
Найдем точку пересечения $y=\frac{5}{x}$ и $y=5$: $\frac{5}{x}=5 \implies x=1$.
Фигура ограничена сверху прямой $y=5$, снизу кривой $y=\frac{5}{x}$ в пределах от $x=1$ до $x=5$.
$S = \int_{1}^{5} \left(5 - \frac{5}{x}\right) \,dx = \left[ 5x - 5\ln|x| \right]_{1}^{5} = (5 \cdot 5 - 5\ln 5) - (5 \cdot 1 - 5\ln 1) = (25 - 5\ln 5) - (5 - 0) = 20 - 5\ln 5$.

Ответ: $20 - 5\ln 5$

10)

Фигура ограничена графиком $y = \frac{2}{x}$, прямой $y=x-1$ и прямой $x=3$.
Найдем точки пересечения $y=\frac{2}{x}$ и $y=x-1$:
$\frac{2}{x} = x-1 \implies 2 = x^2 - x \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1)=0$.
Положительный корень $x=2$.
Фигура ограничена прямыми $x=2$ и $x=3$. На этом интервале проверим, какая функция больше. При $x=2.5$, $y=x-1=1.5$, а $y=2/x = 2/2.5 = 0.8$. Значит, прямая $y=x-1$ является верхней границей.
$S = \int_{2}^{3} \left((x-1) - \frac{2}{x}\right) \,dx = \left[ \frac{x^2}{2} - x - 2\ln|x| \right]_{2}^{3}$.
$S = \left(\frac{3^2}{2} - 3 - 2\ln 3\right) - \left(\frac{2^2}{2} - 2 - 2\ln 2\right) = \left(\frac{9}{2} - 3 - 2\ln 3\right) - (2-2-2\ln 2) = \left(\frac{3}{2} - 2\ln 3\right) - (-2\ln 2) = \frac{3}{2} - 2\ln 3 + 2\ln 2 = \frac{3}{2} + 2\ln\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{3}{2} + 2\ln\frac{2}{3}$

11)

Фигура ограничена графиками $y=x^4$, $y=\frac{1}{x}$ и прямой $x=2$.
Найдем точку пересечения $y=x^4$ и $y=\frac{1}{x}$:
$x^4 = \frac{1}{x} \implies x^5 = 1 \implies x=1$.
Фигура ограничена прямыми $x=1$ и $x=2$. На этом интервале, при $x>1$, $x^4 > 1$ и $\frac{1}{x} < 1$, поэтому $y=x^4$ является верхней границей.
$S = \int_{1}^{2} \left(x^4 - \frac{1}{x}\right) \,dx = \left[ \frac{x^5}{5} - \ln|x| \right]_{1}^{2} = \left(\frac{2^5}{5} - \ln 2\right) - \left(\frac{1^5}{5} - \ln 1\right) = \left(\frac{32}{5} - \ln 2\right) - \left(\frac{1}{5} - 0\right) = \frac{31}{5} - \ln 2$.

Ответ: $\frac{31}{5} - \ln 2$

94. Найдите площадь фигуры, ограниченной:

1) графиками функций $y=\sqrt{x+1}$ и $y=\sqrt{7-x}$ и осью абсцисс;

2) графиком функции $y=\begin{cases} 2\cos x \text{ при } -\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant 0, \\ 2-x \text{ при } 0 < x \leqslant 2 \end{cases}$ и осью абсцисс.

1)

Фигура ограничена графиками функций $y = \sqrt{x+1}$, $y = \sqrt{7-x}$ и осью абсцисс ($y=0$). Для нахождения площади этой фигуры необходимо определить пределы интегрирования.

Сначала найдем точки пересечения графиков с осью абсцисс.

Для функции $y = \sqrt{x+1}$: $\sqrt{x+1} = 0 \Rightarrow x+1=0 \Rightarrow x=-1$.

Для функции $y = \sqrt{7-x}$: $\sqrt{7-x} = 0 \Rightarrow 7-x=0 \Rightarrow x=7$.

Таким образом, фигура расположена на отрезке $[-1, 7]$ по оси $x$.

Теперь найдем точку пересечения графиков функций $y = \sqrt{x+1}$ и $y = \sqrt{7-x}$ между собой, чтобы понять, как они ограничивают фигуру сверху. $\sqrt{x+1} = \sqrt{7-x}$

Возведем обе части в квадрат: $x+1 = 7-x$ $2x = 6$ $x=3$

Точка пересечения $x=3$ делит фигуру на две части. На отрезке $[-1, 3]$ фигура ограничена сверху графиком функции $y = \sqrt{x+1}$. На отрезке $[3, 7]$ фигура ограничена сверху графиком функции $y = \sqrt{7-x}$.

Площадь фигуры $S$ можно найти как сумму площадей двух криволинейных трапеций, используя определенный интеграл: $S = S_1 + S_2 = \int_{-1}^{3} \sqrt{x+1} \,dx + \int_{3}^{7} \sqrt{7-x} \,dx$

Вычислим первый интеграл: $S_1 = \int_{-1}^{3} (x+1)^{1/2} \,dx = \left[ \frac{(x+1)^{3/2}}{3/2} \right]_{-1}^{3} = \frac{2}{3} \left[ (x+1)^{3/2} \right]_{-1}^{3}$ $S_1 = \frac{2}{3} \left( (3+1)^{3/2} - (-1+1)^{3/2} \right) = \frac{2}{3} (4^{3/2} - 0^{3/2}) = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$

Вычислим второй интеграл: $S_2 = \int_{3}^{7} \sqrt{7-x} \,dx = \left[ -\frac{(7-x)^{3/2}}{3/2} \right]_{3}^{7} = -\frac{2}{3} \left[ (7-x)^{3/2} \right]_{3}^{7}$ $S_2 = -\frac{2}{3} \left( (7-7)^{3/2} - (7-3)^{3/2} \right) = -\frac{2}{3} (0^{3/2} - 4^{3/2}) = -\frac{2}{3} (0 - 8) = \frac{16}{3}$

Общая площадь фигуры: $S = S_1 + S_2 = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $S = \frac{32}{3}$.

2)

Фигура ограничена графиком кусочно-заданной функции $y = \begin{cases} 2\cos x & \text{при } -\frac{\pi}{2} \le x \le 0 \\ 2-x & \text{при } 0 < x \le 2 \end{cases}$ и осью абсцисс.

Проверим, что на всем промежутке от $-\frac{\pi}{2}$ до $2$ функция неотрицательна ($y \ge 0$). На отрезке $[-\frac{\pi}{2}, 0]$, косинус принимает значения от $0$ до $1$, следовательно $2\cos x \ge 0$. На интервале $(0, 2]$, функция $y=2-x$ убывает от $2$ до $0$, следовательно $2-x \ge 0$. Таким образом, график функции лежит не ниже оси абсцисс.

Площадь фигуры $S$ можно найти как сумму площадей, соответствующих двум участкам функции: $S = \int_{-\pi/2}^{0} 2\cos x \,dx + \int_{0}^{2} (2-x) \,dx$

Вычислим первый интеграл: $\int_{-\pi/2}^{0} 2\cos x \,dx = 2[\sin x]_{-\pi/2}^{0} = 2(\sin 0 - \sin(-\frac{\pi}{2})) = 2(0 - (-1)) = 2 \cdot 1 = 2$

Вычислим второй интеграл: $\int_{0}^{2} (2-x) \,dx = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \left(2 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}\right) - (2 \cdot 0 - \frac{0^2}{2}) = (4 - 2) - 0 = 2$ (Геометрически эта часть фигуры представляет собой прямоугольный треугольник с катетами, равными 2, его площадь $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$).

Общая площадь фигуры: $S = 2 + 2 = 4$

Ответ: $S=4$.

95. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 3x - x^2$, касательной, проведённой к данной параболе в точке с абсциссой $x_0 = 3$, и осью ординат.

Для нахождения площади искомой фигуры сначала определим уравнения всех ограничивающих её линий. У нас есть:

• парабола: $y = 3x - x^2$
• ось ординат: $x = 0$
• касательная к параболе в точке с абсциссой $x_0 = 3$.

Найдём уравнение касательной. Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдём ординату точки касания, подставив $x_0 = 3$ в уравнение параболы:
$y_0 = f(3) = 3 \cdot 3 - 3^2 = 9 - 9 = 0$.
Точка касания — $(3, 0)$.

2. Найдём производную функции $f(x) = 3x - x^2$:
$f'(x) = (3x - x^2)' = 3 - 2x$.

3. Найдём угловой коэффициент касательной, который равен значению производной в точке $x_0 = 3$:
$k = f'(3) = 3 - 2 \cdot 3 = 3 - 6 = -3$.

4. Подставим найденные значения $x_0 = 3$, $y_0 = 0$ и $k = -3$ в уравнение касательной:
$y - y_0 = k(x - x_0)$
$y - 0 = -3(x - 3)$
$y = -3x + 9$.

Теперь у нас есть все три линии, ограничивающие фигуру: парабола $y = 3x - x^2$, прямая $y = -3x + 9$ и прямая $x = 0$. Фигура расположена между осью ординат ($x=0$) и точкой касания ($x=3$). Таким образом, интегрирование для нахождения площади будет проводиться в пределах от $0$ до $3$.

Площадь фигуры $S$ находится как интеграл от разности между верхней и нижней функциями на отрезке $[0, 3]$. Чтобы определить, какая функция является верхней, а какая нижней, сравним их значения в любой точке внутри интервала, например, при $x=1$:

• Значение на касательной: $y = -3(1) + 9 = 6$.
• Значение на параболе: $y = 3(1) - 1^2 = 2$.

Поскольку $6 > 2$, касательная $y = -3x + 9$ является верхней границей, а парабола $y = 3x - x^2$ — нижней.

Вычисляем площадь с помощью определённого интеграла:
$S = \int_{0}^{3} (y_{верх} - y_{ниж}) dx = \int_{0}^{3} ((-3x + 9) - (3x - x^2)) dx$.

Упростим подынтегральное выражение:
$(-3x + 9) - (3x - x^2) = -3x + 9 - 3x + x^2 = x^2 - 6x + 9$.

Теперь вычислим интеграл:
$S = \int_{0}^{3} (x^2 - 6x + 9) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 6\frac{x^2}{2} + 9x \right]_{0}^{3} = \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x \right]_{0}^{3}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$S = \left(\frac{3^3}{3} - 3 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3\right) - \left(\frac{0^3}{3} - 3 \cdot 0^2 + 9 \cdot 0\right)$
$S = \left(\frac{27}{3} - 3 \cdot 9 + 27\right) - 0$
$S = (9 - 27 + 27) - 0 = 9$.

Ответ: 9

96. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = x$ и $y = |x^2 - 2x|$.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = x$ и $y = |x^2 - 2x|$, необходимо выполнить следующие шаги: найти точки пересечения графиков, а затем вычислить определенный интеграл (или сумму интегралов) разности функций на соответствующих промежутках.

1. Анализ функции с модулем и нахождение точек пересечения

Раскроем модуль в функции $y = |x^2 - 2x|$. Выражение под модулем $x^2 - 2x = x(x-2)$ равно нулю при $x=0$ и $x=2$. Оно неотрицательно при $x \le 0$ или $x \ge 2$, и отрицательно при $0 < x < 2$.

Таким образом, функцию можно представить в виде:

$y = \begin{cases}x^2 - 2x, & \text{если } x \in (-\infty, 0] \cup [2, +\infty) \\-(x^2 - 2x) = 2x - x^2, & \text{если } x \in (0, 2)\end{cases}$

Теперь найдем точки пересечения графика этой функции с графиком $y = x$. Для этого решим уравнение $x = |x^2 - 2x|$.

Случай 1: $x \in (-\infty, 0] \cup [2, +\infty)$.

Уравнение принимает вид $x = x^2 - 2x$.

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Оба корня удовлетворяют условию $x \in (-\infty, 0] \cup [2, +\infty)$, следовательно, являются точками пересечения.

Случай 2: $x \in (0, 2)$.

Уравнение принимает вид $x = 2x - x^2$.

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

Корни: $x_3 = 0$ и $x_4 = 1$. Корень $x=0$ не входит в интервал $(0, 2)$. Корень $x=1$ принадлежит этому интервалу, следовательно, является точкой пересечения.

Итак, графики функций пересекаются в трех точках с абсциссами $x=0$, $x=1$ и $x=3$. Эти точки разбивают искомую площадь на две части, которые нужно вычислить отдельно и сложить.

2. Вычисление площади фигуры

Площадь фигуры $S$ находится как сумма площадей $S_1$ на отрезке $[0, 1]$ и $S_2$ на отрезке $[1, 3]$.

$S = \int_0^3 |x - |x^2 - 2x|| dx = \int_0^1 |x - (2x - x^2)| dx + \int_1^2 |x - (2x - x^2)| dx + \int_2^3 |x - (x^2 - 2x)| dx$

Площадь на отрезке [0, 1] ($S_1$):

На этом интервале $y = |x^2 - 2x| = 2x - x^2$. Сравним значения функций, например, в точке $x=0.5$: $y=x=0.5$, а $y=2(0.5) - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75$. Значит, на отрезке $[0, 1]$ график $y = 2x - x^2$ лежит выше графика $y=x$.

$S_1 = \int_0^1 ((2x - x^2) - x) dx = \int_0^1 (x - x^2) dx = \left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right)\bigg|_0^1 = \left(\frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}\right) - 0 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$

Площадь на отрезке [1, 3]:

Этот отрезок необходимо разбить на два в точке $x=2$, так как в этой точке меняется определение функции с модулем.

Участок [1, 2]:

На этом интервале $y = |x^2 - 2x| = 2x - x^2$. Сравним значения функций, например, в точке $x=1.5$: $y=x=1.5$, а $y=2(1.5) - (1.5)^2 = 3 - 2.25 = 0.75$. Значит, на отрезке $[1, 2]$ график $y=x$ лежит выше графика $y = 2x - x^2$.

$S_{2a} = \int_1^2 (x - (2x - x^2)) dx = \int_1^2 (x^2 - x) dx = \left(\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}\right)\bigg|_1^2 = \left(\frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2}\right) - \left(\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2}\right) = \left(\frac{8}{3} - 2\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Участок [2, 3]:

На этом интервале $y = |x^2 - 2x| = x^2 - 2x$. Сравним значения функций, например, в точке $x=2.5$: $y=x=2.5$, а $y=(2.5)^2 - 2(2.5) = 6.25 - 5 = 1.25$. Значит, на отрезке $[2, 3]$ график $y=x$ лежит выше графика $y = x^2 - 2x$.

$S_{2b} = \int_2^3 (x - (x^2 - 2x)) dx = \int_2^3 (3x - x^2) dx = \left(\frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right)\bigg|_2^3 = \left(\frac{3 \cdot 3^2}{2} - \frac{3^3}{3}\right) - \left(\frac{3 \cdot 2^2}{2} - \frac{2^3}{3}\right) = \left(\frac{27}{2} - 9\right) - \left(6 - \frac{8}{3}\right) = \frac{9}{2} - \frac{10}{3} = \frac{27-20}{6} = \frac{7}{6}$

Общая площадь:

Суммируем площади всех участков:

$S = S_1 + S_{2a} + S_{2b} = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} + \frac{7}{6} = \frac{1+5+7}{6} = \frac{13}{6}$

Ответ: $\frac{13}{6}$

97. Найдите, при каком значении $a$ площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 6x^2$ и прямыми $y = 0$, $x = a - 2$, $x = a$, будет принимать наименьшее значение.

Площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 6x^2$, осью абсцисс ($y=0$) и вертикальными прямыми $x = a - 2$ и $x = a$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Так как функция $y = 6x^2$ неотрицательна при любых значениях $x$, площадь $S$ как функция от $a$ равна:

$S(a) = \int_{a-2}^{a} 6x^2 \,dx$

Вычислим этот интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S(a) = \left. 6 \frac{x^3}{3} \right|_{a-2}^{a} = \left. 2x^3 \right|_{a-2}^{a} = 2a^3 - 2(a-2)^3$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение для площади $S(a)$:

$(a-2)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot 2^2 - 2^3 = a^3 - 6a^2 + 12a - 8$

$S(a) = 2a^3 - 2(a^3 - 6a^2 + 12a - 8) = 2a^3 - 2a^3 + 12a^2 - 24a + 16$

$S(a) = 12a^2 - 24a + 16$

Мы получили функцию площади $S(a)$, которая является квадратичной функцией от $a$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $a^2$ (равный 12) положителен. Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Найдем координату вершины параболы $a_0$ по формуле $a_0 = -\frac{b}{2k}$, где $k=12$ и $b=-24$:

$a_0 = -\frac{-24}{2 \cdot 12} = \frac{24}{24} = 1$

Таким образом, площадь фигуры будет принимать наименьшее значение при $a=1$.

В качестве альтернативы, можно найти минимум функции $S(a)$, исследовав ее с помощью производной. Найдем производную $S'(a)$ и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

$S'(a) = (12a^2 - 24a + 16)' = 24a - 24$

$S'(a) = 0 \Rightarrow 24a - 24 = 0 \Rightarrow 24a = 24 \Rightarrow a = 1$

Так как вторая производная $S''(a) = 24 > 0$, то точка $a=1$ является точкой минимума.

Ответ: $a=1$