Номер 95, страница 23 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

95. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 3x - x^2$, касательной, проведённой к данной параболе в точке с абсциссой $x_0 = 3$, и осью ординат.

Для нахождения площади искомой фигуры сначала определим уравнения всех ограничивающих её линий. У нас есть:

• парабола: $y = 3x - x^2$
• ось ординат: $x = 0$
• касательная к параболе в точке с абсциссой $x_0 = 3$.

Найдём уравнение касательной. Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдём ординату точки касания, подставив $x_0 = 3$ в уравнение параболы:
$y_0 = f(3) = 3 \cdot 3 - 3^2 = 9 - 9 = 0$.
Точка касания — $(3, 0)$.

2. Найдём производную функции $f(x) = 3x - x^2$:
$f'(x) = (3x - x^2)' = 3 - 2x$.

3. Найдём угловой коэффициент касательной, который равен значению производной в точке $x_0 = 3$:
$k = f'(3) = 3 - 2 \cdot 3 = 3 - 6 = -3$.

4. Подставим найденные значения $x_0 = 3$, $y_0 = 0$ и $k = -3$ в уравнение касательной:
$y - y_0 = k(x - x_0)$
$y - 0 = -3(x - 3)$
$y = -3x + 9$.

Теперь у нас есть все три линии, ограничивающие фигуру: парабола $y = 3x - x^2$, прямая $y = -3x + 9$ и прямая $x = 0$. Фигура расположена между осью ординат ($x=0$) и точкой касания ($x=3$). Таким образом, интегрирование для нахождения площади будет проводиться в пределах от $0$ до $3$.

Площадь фигуры $S$ находится как интеграл от разности между верхней и нижней функциями на отрезке $[0, 3]$. Чтобы определить, какая функция является верхней, а какая нижней, сравним их значения в любой точке внутри интервала, например, при $x=1$:

• Значение на касательной: $y = -3(1) + 9 = 6$.
• Значение на параболе: $y = 3(1) - 1^2 = 2$.

Поскольку $6 > 2$, касательная $y = -3x + 9$ является верхней границей, а парабола $y = 3x - x^2$ — нижней.

Вычисляем площадь с помощью определённого интеграла:
$S = \int_{0}^{3} (y_{верх} - y_{ниж}) dx = \int_{0}^{3} ((-3x + 9) - (3x - x^2)) dx$.

Упростим подынтегральное выражение:
$(-3x + 9) - (3x - x^2) = -3x + 9 - 3x + x^2 = x^2 - 6x + 9$.

Теперь вычислим интеграл:
$S = \int_{0}^{3} (x^2 - 6x + 9) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 6\frac{x^2}{2} + 9x \right]_{0}^{3} = \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x \right]_{0}^{3}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$S = \left(\frac{3^3}{3} - 3 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3\right) - \left(\frac{0^3}{3} - 3 \cdot 0^2 + 9 \cdot 0\right)$
$S = \left(\frac{27}{3} - 3 \cdot 9 + 27\right) - 0$
$S = (9 - 27 + 27) - 0 = 9$.

Ответ: 9