gdz.top
Номер 91, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: бирюзовый
ISBN: 978-5-09-098610-6
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. Вариант 1. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл - номер 91, страница 21.
№90
№91 (с. 21)
Условие. №91 (с. 21)
91. Сравните площади криволинейных трапеций, заштрихованных на рисунке 2.
Рис. 2
$y = \frac{12}{x}$
Решение. №91 (с. 21)
Для сравнения площадей заштрихованных криволинейных трапеций необходимо вычислить их с помощью определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$ (где $f(x) \ge 0$), осью абсцисс $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$ ($a < b$), вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.
В данном случае функция $f(x) = \frac{12}{x}$.
Найдем первообразную для этой функции. Первообразной для $\frac{1}{x}$ является $\ln|x|$. Следовательно, для $f(x) = \frac{12}{x}$ первообразной будет $F(x) = 12 \ln|x|$. Так как в обоих случаях рассматриваются положительные значения $x$, то $F(x) = 12 \ln(x)$.
Теперь вычислим площадь первой заштрихованной фигуры, $S_1$, которая ограничена прямыми $x=1$ и $x=2$.
$S_1 = \int_{1}^{2} \frac{12}{x} \,dx = 12 \ln(x) \Big|_1^2 = 12 \ln(2) - 12 \ln(1)$
Так как $\ln(1) = 0$, то площадь первой фигуры равна:
$S_1 = 12 \ln(2)$
Далее вычислим площадь второй заштрихованной фигуры, $S_2$, которая ограничена прямыми $x=6$ и $x=12$.
$S_2 = \int_{6}^{12} \frac{12}{x} \,dx = 12 \ln(x) \Big|_6^{12} = 12 \ln(12) - 12 \ln(6)$
Используя свойство логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$, преобразуем выражение:
$S_2 = 12(\ln(12) - \ln(6)) = 12 \ln(\frac{12}{6}) = 12 \ln(2)$
Сравнивая полученные результаты, видим, что $S_1 = 12 \ln(2)$ и $S_2 = 12 \ln(2)$. Следовательно, $S_1 = S_2$.
Ответ: Площади заштрихованных криволинейных трапеций равны.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 91 расположенного на странице 21 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №91 (с. 21), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.