Номер 86, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. Найдите первообразную функции $f(x) = -4x + 3$, график которой имеет с прямой $y = 3$ только одну общую точку.

1. Нахождение общего вида первообразной
Первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$ находится путем интегрирования.

$F(x) = \int f(x) dx = \int (-4x + 3) dx = -4 \int x dx + \int 3 dx = -4 \frac{x^2}{2} + 3x + C = -2x^2 + 3x + C$

Таким образом, общий вид первообразной для функции $f(x) = -4x + 3$ есть $F(x) = -2x^2 + 3x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Анализ условия задачи
График функции $F(x) = -2x^2 + 3x + C$ представляет собой параболу. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен -2 (отрицательный), ветви параболы направлены вниз.

Условие, что график имеет с прямой $y = 3$ только одну общую точку, означает, что эта прямая является касательной к параболе. Для параболы с ветвями, направленными вниз, это возможно только в ее вершине. Следовательно, вершина параболы должна лежать на прямой $y=3$, а значит, ордината (координата y) вершины параболы равна 3.

3. Нахождение координат вершины параболы
Абсцисса вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Для нашей функции $F(x) = -2x^2 + 3x + C$ имеем $a = -2$ и $b = 3$.

$x_0 = -\frac{3}{2(-2)} = \frac{3}{4}$

Ордината вершины $y_0$ — это значение функции в точке $x_0$:

$y_0 = F(x_0) = F(\frac{3}{4}) = -2(\frac{3}{4})^2 + 3(\frac{3}{4}) + C = -2(\frac{9}{16}) + \frac{9}{4} + C = -\frac{9}{8} + \frac{18}{8} + C = \frac{9}{8} + C$

4. Определение константы C
Как мы установили, ордината вершины должна быть равна 3.

$y_0 = 3$

$\frac{9}{8} + C = 3$

$C = 3 - \frac{9}{8} = \frac{24}{8} - \frac{9}{8} = \frac{15}{8}$

5. Запись итоговой первообразной
Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:

$F(x) = -2x^2 + 3x + \frac{15}{8}$

Ответ: $F(x) = -2x^2 + 3x + \frac{15}{8}$