Номер 87, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

87. Для функции $f(x) = 7x - 4$ найдите такую первообразную, чтобы прямая $y = 10x + 3$ являлась касательной к её графику.

Пусть $F(x)$ — искомая первообразная для функции $f(x) = 7x - 4$.

Нахождение общего вида первообразной

Общий вид первообразной для функции $f(x)$ находится путем интегрирования:
$F(x) = \int f(x) dx = \int (7x - 4) dx = 7 \cdot \frac{x^2}{2} - 4x + C$, где $C$ — некоторая константа.
Итак, $F(x) = 3.5x^2 - 4x + C$.

Использование условия касания

По условию, прямая $y = 10x + 3$ является касательной к графику функции $F(x)$. Это означает, что в точке касания $x_0$ должны выполняться два условия:
1) Значение производной первообразной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной ($F'(x_0) = k$).
2) Значения функции $F(x)$ и касательной $y(x)$ в точке $x_0$ совпадают ($F(x_0) = y(x_0)$).

Нахождение абсциссы точки касания

Производная первообразной $F'(x)$ по определению равна исходной функции $f(x)$.
$F'(x) = f(x) = 7x - 4$.
Угловой коэффициент касательной $y = 10x + 3$ равен $k=10$.
Приравняем производную к угловому коэффициенту, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:
$F'(x_0) = 10$
$7x_0 - 4 = 10$
$7x_0 = 14$
$x_0 = 2$

Нахождение константы C

Теперь, когда мы знаем абсциссу точки касания $x_0 = 2$, воспользуемся вторым условием: $F(x_0) = y(x_0)$.
Найдем значение $y$ в точке касания, подставив $x_0=2$ в уравнение прямой:
$y(2) = 10 \cdot 2 + 3 = 20 + 3 = 23$.
Следовательно, точка касания имеет координаты $(2; 23)$.

Эта точка принадлежит графику первообразной $F(x)$, поэтому её координаты должны удовлетворять уравнению $F(x) = 3.5x^2 - 4x + C$. Подставим координаты точки $(2; 23)$ в это уравнение, чтобы найти $C$:
$F(2) = 23$
$3.5 \cdot (2)^2 - 4 \cdot 2 + C = 23$
$3.5 \cdot 4 - 8 + C = 23$
$14 - 8 + C = 23$
$6 + C = 23$
$C = 23 - 6$
$C = 17$

Запись искомой первообразной

Подставив найденное значение $C = 17$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:
$F(x) = 3.5x^2 - 4x + 17$.

Ответ: $F(x) = 3.5x^2 - 4x + 17$.