Номер 85, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

85. Найдите общий вид первообразных функции $f$ на промежутке $I$:

1) $f(x) = \operatorname{ctg}^2 \frac{x}{4}$, $I = (0; 4\pi)$;

2) $f(x) = \frac{2x^4 + x^3 - 1}{x^2}$, $I = (0; +\infty)$.

1) Чтобы найти общий вид первообразных функции $f(x) = \text{ctg}^2 \frac{x}{4}$ на промежутке $I=(0; 4\pi)$, необходимо найти ее неопределенный интеграл $F(x) = \int \text{ctg}^2 \frac{x}{4} \,dx$.

Для нахождения интеграла воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$. Выразим из него $\text{ctg}^2 \alpha$:$\text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} - 1$.

Применив это тождество к подынтегральной функции (где $\alpha = \frac{x}{4}$), получим:$f(x) = \frac{1}{\sin^2 \frac{x}{4}} - 1$.

Теперь можем найти интеграл:

$F(x) = \int \left(\frac{1}{\sin^2 \frac{x}{4}} - 1\right) dx = \int \frac{dx}{\sin^2 \frac{x}{4}} - \int 1 \,dx$.

Первый интеграл является табличным: $\int \frac{dx}{\sin^2(kx)} = -\frac{1}{k} \text{ctg}(kx) + C$. В нашем случае коэффициент $k = \frac{1}{4}$.

$\int \frac{dx}{\sin^2 \frac{x}{4}} = -\frac{1}{1/4} \text{ctg}\frac{x}{4} = -4 \text{ctg}\frac{x}{4}$.

Второй интеграл: $\int 1 \,dx = x$.

Объединяя результаты, получаем общий вид первообразных для функции $f(x)$:

$F(x) = -4 \text{ctg}\frac{x}{4} - x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Функция $f(x)$ и найденная первообразная $F(x)$ определены и непрерывны на заданном интервале $I=(0; 4\pi)$, так как на этом интервале аргумент котангенса $\frac{x}{4}$ находится в пределах $(0; \pi)$, где $\sin \frac{x}{4} \neq 0$.

Ответ: $F(x) = -4 \text{ctg}\frac{x}{4} - x + C$.

2) Чтобы найти общий вид первообразных функции $f(x) = \frac{2x^4 + x^3 - 1}{x^2}$ на промежутке $I=(0; +\infty)$, найдем ее неопределенный интеграл. Сначала упростим выражение для $f(x)$, разделив каждый член числителя на знаменатель $x^2$.

$f(x) = \frac{2x^4}{x^2} + \frac{x^3}{x^2} - \frac{1}{x^2} = 2x^2 + x - x^{-2}$.

Теперь найдем интеграл от полученного выражения:

$F(x) = \int (2x^2 + x - x^{-2}) \,dx$.

Используя свойство линейности интеграла, можем проинтегрировать каждое слагаемое отдельно. Применяем формулу для интеграла степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (при $n \neq -1$):

$F(x) = \int 2x^2 \,dx + \int x \,dx - \int x^{-2} \,dx = 2\int x^2 \,dx + \int x^1 \,dx - \int x^{-2} \,dx$.

$F(x) = 2 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + \frac{x^{1+1}}{1+1} - \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C$.

$F(x) = 2 \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - \frac{x^{-1}}{-1} + C$.

$F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x^{-1} + C = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{x} + C$.

Функция $f(x)$ и ее первообразная $F(x)$ определены и непрерывны на заданном интервале $I=(0; +\infty)$.

Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{x} + C$.