Номер 84, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. Найдите:

1) $\int (x^2 - 3x)^2 dx;$

2) $\int \sin^2 3x dx;$

3) $\int \sin 7x \cos 4x dx.$

1) Чтобы найти интеграл $\int (x^2 - 3x)^2 dx$, сначала раскроем скобки в подынтегральном выражении, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^2 - 3x)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 3x + (3x)^2 = x^4 - 6x^3 + 9x^2$

Теперь интегрируем полученный многочлен, используя свойство линейности интеграла и формулу для интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int (x^4 - 6x^3 + 9x^2) dx = \int x^4 dx - 6\int x^3 dx + 9\int x^2 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} - 6\frac{x^{3+1}}{3+1} + 9\frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^5}{5} - 6\frac{x^4}{4} + 9\frac{x^3}{3} + C = \frac{x^5}{5} - \frac{3}{2}x^4 + 3x^3 + C$.

Ответ: $\frac{x^5}{5} - \frac{3}{2}x^4 + 3x^3 + C$.

2) Для нахождения интеграла $\int \sin^2(3x) dx$ воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

В нашем случае $\alpha = 3x$, поэтому $2\alpha = 6x$. Подставляем в формулу:

$\sin^2(3x) = \frac{1 - \cos(6x)}{2}$

Теперь интегрируем это выражение:

$\int \sin^2(3x) dx = \int \frac{1 - \cos(6x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(6x)) dx = \frac{1}{2} \left( \int 1 dx - \int \cos(6x) dx \right)$.

Находим интегралы:

$\int 1 dx = x$

$\int \cos(6x) dx = \frac{1}{6}\sin(6x)$

Подставляем найденные интегралы обратно и добавляем константу интегрирования $C$:

$\frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{6}\sin(6x) \right) + C = \frac{1}{2}x - \frac{1}{12}\sin(6x) + C$.

Ответ: $\frac{1}{2}x - \frac{1}{12}\sin(6x) + C$.

3) Для вычисления интеграла $\int \sin(7x)\cos(4x) dx$ применим тригонометрическую формулу преобразования произведения в сумму: $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.

В данном случае $\alpha = 7x$ и $\beta = 4x$. Тогда:

$\alpha + \beta = 7x + 4x = 11x$

$\alpha - \beta = 7x - 4x = 3x$

Подставляем эти значения в формулу:

$\sin(7x)\cos(4x) = \frac{1}{2}(\sin(11x) + \sin(3x))$

Интегрируем полученное выражение:

$\int \frac{1}{2}(\sin(11x) + \sin(3x)) dx = \frac{1}{2} \int (\sin(11x) + \sin(3x)) dx = \frac{1}{2} \left( \int \sin(11x) dx + \int \sin(3x) dx \right)$.

Находим каждый интеграл, используя формулу $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx)$:

$\frac{1}{2} \left( -\frac{1}{11}\cos(11x) - \frac{1}{3}\cos(3x) \right) + C = -\frac{1}{22}\cos(11x) - \frac{1}{6}\cos(3x) + C$.

Ответ: $-\frac{1}{22}\cos(11x) - \frac{1}{6}\cos(3x) + C$.