Номер 82, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. Функция $F$ — первообразная функции $f(x) = 3 - 2x$, график которой имеет с графиком функции $f$ общую точку, принадлежащую оси ординат. Найдите первообразную $F$ и все точки пересечения графиков функций $f$ и $F$.

Найдите первообразную F

По определению, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, если $F'(x) = f(x)$. Для нахождения общего вида первообразной для функции $f(x) = 3 - 2x$ необходимо вычислить неопределенный интеграл:

$F(x) = \int (3 - 2x) dx = 3x - 2 \frac{x^2}{2} + C = 3x - x^2 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

По условию, график функции $F(x)$ имеет с графиком функции $f(x)$ общую точку, принадлежащую оси ординат. Точки на оси ординат имеют абсциссу $x=0$. Следовательно, значения функций в этой точке должны совпадать: $F(0) = f(0)$.

Найдем значения функций при $x=0$:

$f(0) = 3 - 2 \cdot 0 = 3$

$F(0) = 3 \cdot 0 - 0^2 + C = C$

Приравнивая эти значения, получаем: $C = 3$.

Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = 3x - x^2 + 3$.

Ответ: $F(x) = 3x - x^2 + 3$.

Найдите все точки пересечения графиков функций f и F

Для нахождения точек пересечения графиков функций $f(x)$ и $F(x)$ необходимо решить уравнение $F(x) = f(x)$:

$3x - x^2 + 3 = 3 - 2x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$x^2 - 3x - 2x + 3 - 3 = 0$

$x^2 - 5x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 5) = 0$

Отсюда находим абсциссы точек пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.

Теперь найдем соответствующие ординаты этих точек, подставив значения $x$ в любую из функций (например, в $f(x)$):

При $x_1 = 0$: $y_1 = f(0) = 3 - 2 \cdot 0 = 3$. Точка пересечения: $(0, 3)$.

При $x_2 = 5$: $y_2 = f(5) = 3 - 2 \cdot 5 = 3 - 10 = -7$. Точка пересечения: $(5, -7)$.

Ответ: $(0, 3)$ и $(5, -7)$.