Страница 19 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. Функция $F$ — первообразная функции $f(x) = 3 - 2x$, график которой имеет с графиком функции $f$ общую точку, принадлежащую оси ординат. Найдите первообразную $F$ и все точки пересечения графиков функций $f$ и $F$.

Найдите первообразную F

По определению, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, если $F'(x) = f(x)$. Для нахождения общего вида первообразной для функции $f(x) = 3 - 2x$ необходимо вычислить неопределенный интеграл:

$F(x) = \int (3 - 2x) dx = 3x - 2 \frac{x^2}{2} + C = 3x - x^2 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

По условию, график функции $F(x)$ имеет с графиком функции $f(x)$ общую точку, принадлежащую оси ординат. Точки на оси ординат имеют абсциссу $x=0$. Следовательно, значения функций в этой точке должны совпадать: $F(0) = f(0)$.

Найдем значения функций при $x=0$:

$f(0) = 3 - 2 \cdot 0 = 3$

$F(0) = 3 \cdot 0 - 0^2 + C = C$

Приравнивая эти значения, получаем: $C = 3$.

Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = 3x - x^2 + 3$.

Ответ: $F(x) = 3x - x^2 + 3$.

Найдите все точки пересечения графиков функций f и F

Для нахождения точек пересечения графиков функций $f(x)$ и $F(x)$ необходимо решить уравнение $F(x) = f(x)$:

$3x - x^2 + 3 = 3 - 2x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$x^2 - 3x - 2x + 3 - 3 = 0$

$x^2 - 5x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 5) = 0$

Отсюда находим абсциссы точек пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.

Теперь найдем соответствующие ординаты этих точек, подставив значения $x$ в любую из функций (например, в $f(x)$):

При $x_1 = 0$: $y_1 = f(0) = 3 - 2 \cdot 0 = 3$. Точка пересечения: $(0, 3)$.

При $x_2 = 5$: $y_2 = f(5) = 3 - 2 \cdot 5 = 3 - 10 = -7$. Точка пересечения: $(5, -7)$.

Ответ: $(0, 3)$ и $(5, -7)$.

83. Задайте формулой функцию, определённую на промежутке $(-\infty; +\infty)$, график которой проходит через точку $M(-1; 4)$, а угловой коэффициент касательной, проведённой к этому графику в точке с абсциссой $x$, равен $2 - 3x^2$.

Пусть искомая функция $y = f(x)$. Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой $x$, равен значению производной функции в этой точке, то есть $f'(x)$.

Согласно условию задачи, мы имеем:
$f'(x) = 2 - 3x^2$

Чтобы найти функцию $f(x)$, необходимо найти ее первообразную. Общий вид всех первообразных для $f'(x)$ находится путем интегрирования:
$f(x) = \int (2 - 3x^2) dx = \int 2 dx - \int 3x^2 dx = 2x - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = 2x - x^3 + C$
Таким образом, $f(x) = -x^3 + 2x + C$, где $C$ — некоторая константа.

Для нахождения константы $C$ воспользуемся тем, что график функции проходит через точку $M(-1; 4)$. Это означает, что при $x = -1$ значение функции равно $4$, то есть $f(-1) = 4$. Подставим эти значения в уравнение функции:
$4 = -(-1)^3 + 2(-1) + C$
$4 = -(-1) - 2 + C$
$4 = 1 - 2 + C$
$4 = -1 + C$
$C = 4 + 1 = 5$

Подставив найденное значение $C=5$ в общее уравнение функции, получаем искомую формулу. Функция определена на промежутке $(-\infty; +\infty)$, так как является многочленом.
$f(x) = -x^3 + 2x + 5$

Ответ: $f(x) = -x^3 + 2x + 5$

84. Найдите:

1) $\int (x^2 - 3x)^2 dx;$

2) $\int \sin^2 3x dx;$

3) $\int \sin 7x \cos 4x dx.$

1) Чтобы найти интеграл $\int (x^2 - 3x)^2 dx$, сначала раскроем скобки в подынтегральном выражении, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^2 - 3x)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 3x + (3x)^2 = x^4 - 6x^3 + 9x^2$

Теперь интегрируем полученный многочлен, используя свойство линейности интеграла и формулу для интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int (x^4 - 6x^3 + 9x^2) dx = \int x^4 dx - 6\int x^3 dx + 9\int x^2 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} - 6\frac{x^{3+1}}{3+1} + 9\frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^5}{5} - 6\frac{x^4}{4} + 9\frac{x^3}{3} + C = \frac{x^5}{5} - \frac{3}{2}x^4 + 3x^3 + C$.

Ответ: $\frac{x^5}{5} - \frac{3}{2}x^4 + 3x^3 + C$.

2) Для нахождения интеграла $\int \sin^2(3x) dx$ воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

В нашем случае $\alpha = 3x$, поэтому $2\alpha = 6x$. Подставляем в формулу:

$\sin^2(3x) = \frac{1 - \cos(6x)}{2}$

Теперь интегрируем это выражение:

$\int \sin^2(3x) dx = \int \frac{1 - \cos(6x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(6x)) dx = \frac{1}{2} \left( \int 1 dx - \int \cos(6x) dx \right)$.

Находим интегралы:

$\int 1 dx = x$

$\int \cos(6x) dx = \frac{1}{6}\sin(6x)$

Подставляем найденные интегралы обратно и добавляем константу интегрирования $C$:

$\frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{6}\sin(6x) \right) + C = \frac{1}{2}x - \frac{1}{12}\sin(6x) + C$.

Ответ: $\frac{1}{2}x - \frac{1}{12}\sin(6x) + C$.

3) Для вычисления интеграла $\int \sin(7x)\cos(4x) dx$ применим тригонометрическую формулу преобразования произведения в сумму: $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.

В данном случае $\alpha = 7x$ и $\beta = 4x$. Тогда:

$\alpha + \beta = 7x + 4x = 11x$

$\alpha - \beta = 7x - 4x = 3x$

Подставляем эти значения в формулу:

$\sin(7x)\cos(4x) = \frac{1}{2}(\sin(11x) + \sin(3x))$

Интегрируем полученное выражение:

$\int \frac{1}{2}(\sin(11x) + \sin(3x)) dx = \frac{1}{2} \int (\sin(11x) + \sin(3x)) dx = \frac{1}{2} \left( \int \sin(11x) dx + \int \sin(3x) dx \right)$.

Находим каждый интеграл, используя формулу $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx)$:

$\frac{1}{2} \left( -\frac{1}{11}\cos(11x) - \frac{1}{3}\cos(3x) \right) + C = -\frac{1}{22}\cos(11x) - \frac{1}{6}\cos(3x) + C$.

Ответ: $-\frac{1}{22}\cos(11x) - \frac{1}{6}\cos(3x) + C$.

85. Найдите общий вид первообразных функции $f$ на промежутке $I$:

1) $f(x) = \operatorname{ctg}^2 \frac{x}{4}$, $I = (0; 4\pi)$;

2) $f(x) = \frac{2x^4 + x^3 - 1}{x^2}$, $I = (0; +\infty)$.

1) Чтобы найти общий вид первообразных функции $f(x) = \text{ctg}^2 \frac{x}{4}$ на промежутке $I=(0; 4\pi)$, необходимо найти ее неопределенный интеграл $F(x) = \int \text{ctg}^2 \frac{x}{4} \,dx$.

Для нахождения интеграла воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$. Выразим из него $\text{ctg}^2 \alpha$:$\text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} - 1$.

Применив это тождество к подынтегральной функции (где $\alpha = \frac{x}{4}$), получим:$f(x) = \frac{1}{\sin^2 \frac{x}{4}} - 1$.

Теперь можем найти интеграл:

$F(x) = \int \left(\frac{1}{\sin^2 \frac{x}{4}} - 1\right) dx = \int \frac{dx}{\sin^2 \frac{x}{4}} - \int 1 \,dx$.

Первый интеграл является табличным: $\int \frac{dx}{\sin^2(kx)} = -\frac{1}{k} \text{ctg}(kx) + C$. В нашем случае коэффициент $k = \frac{1}{4}$.

$\int \frac{dx}{\sin^2 \frac{x}{4}} = -\frac{1}{1/4} \text{ctg}\frac{x}{4} = -4 \text{ctg}\frac{x}{4}$.

Второй интеграл: $\int 1 \,dx = x$.

Объединяя результаты, получаем общий вид первообразных для функции $f(x)$:

$F(x) = -4 \text{ctg}\frac{x}{4} - x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Функция $f(x)$ и найденная первообразная $F(x)$ определены и непрерывны на заданном интервале $I=(0; 4\pi)$, так как на этом интервале аргумент котангенса $\frac{x}{4}$ находится в пределах $(0; \pi)$, где $\sin \frac{x}{4} \neq 0$.

Ответ: $F(x) = -4 \text{ctg}\frac{x}{4} - x + C$.

2) Чтобы найти общий вид первообразных функции $f(x) = \frac{2x^4 + x^3 - 1}{x^2}$ на промежутке $I=(0; +\infty)$, найдем ее неопределенный интеграл. Сначала упростим выражение для $f(x)$, разделив каждый член числителя на знаменатель $x^2$.

$f(x) = \frac{2x^4}{x^2} + \frac{x^3}{x^2} - \frac{1}{x^2} = 2x^2 + x - x^{-2}$.

Теперь найдем интеграл от полученного выражения:

$F(x) = \int (2x^2 + x - x^{-2}) \,dx$.

Используя свойство линейности интеграла, можем проинтегрировать каждое слагаемое отдельно. Применяем формулу для интеграла степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (при $n \neq -1$):

$F(x) = \int 2x^2 \,dx + \int x \,dx - \int x^{-2} \,dx = 2\int x^2 \,dx + \int x^1 \,dx - \int x^{-2} \,dx$.

$F(x) = 2 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + \frac{x^{1+1}}{1+1} - \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C$.

$F(x) = 2 \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - \frac{x^{-1}}{-1} + C$.

$F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x^{-1} + C = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{x} + C$.

Функция $f(x)$ и ее первообразная $F(x)$ определены и непрерывны на заданном интервале $I=(0; +\infty)$.

Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{x} + C$.

86. Найдите первообразную функции $f(x) = -4x + 3$, график которой имеет с прямой $y = 3$ только одну общую точку.

1. Нахождение общего вида первообразной
Первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$ находится путем интегрирования.

$F(x) = \int f(x) dx = \int (-4x + 3) dx = -4 \int x dx + \int 3 dx = -4 \frac{x^2}{2} + 3x + C = -2x^2 + 3x + C$

Таким образом, общий вид первообразной для функции $f(x) = -4x + 3$ есть $F(x) = -2x^2 + 3x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Анализ условия задачи
График функции $F(x) = -2x^2 + 3x + C$ представляет собой параболу. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен -2 (отрицательный), ветви параболы направлены вниз.

Условие, что график имеет с прямой $y = 3$ только одну общую точку, означает, что эта прямая является касательной к параболе. Для параболы с ветвями, направленными вниз, это возможно только в ее вершине. Следовательно, вершина параболы должна лежать на прямой $y=3$, а значит, ордината (координата y) вершины параболы равна 3.

3. Нахождение координат вершины параболы
Абсцисса вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Для нашей функции $F(x) = -2x^2 + 3x + C$ имеем $a = -2$ и $b = 3$.

$x_0 = -\frac{3}{2(-2)} = \frac{3}{4}$

Ордината вершины $y_0$ — это значение функции в точке $x_0$:

$y_0 = F(x_0) = F(\frac{3}{4}) = -2(\frac{3}{4})^2 + 3(\frac{3}{4}) + C = -2(\frac{9}{16}) + \frac{9}{4} + C = -\frac{9}{8} + \frac{18}{8} + C = \frac{9}{8} + C$

4. Определение константы C
Как мы установили, ордината вершины должна быть равна 3.

$y_0 = 3$

$\frac{9}{8} + C = 3$

$C = 3 - \frac{9}{8} = \frac{24}{8} - \frac{9}{8} = \frac{15}{8}$

5. Запись итоговой первообразной
Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:

$F(x) = -2x^2 + 3x + \frac{15}{8}$

Ответ: $F(x) = -2x^2 + 3x + \frac{15}{8}$

87. Для функции $f(x) = 7x - 4$ найдите такую первообразную, чтобы прямая $y = 10x + 3$ являлась касательной к её графику.

Пусть $F(x)$ — искомая первообразная для функции $f(x) = 7x - 4$.

Нахождение общего вида первообразной

Общий вид первообразной для функции $f(x)$ находится путем интегрирования:
$F(x) = \int f(x) dx = \int (7x - 4) dx = 7 \cdot \frac{x^2}{2} - 4x + C$, где $C$ — некоторая константа.
Итак, $F(x) = 3.5x^2 - 4x + C$.

Использование условия касания

По условию, прямая $y = 10x + 3$ является касательной к графику функции $F(x)$. Это означает, что в точке касания $x_0$ должны выполняться два условия:
1) Значение производной первообразной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной ($F'(x_0) = k$).
2) Значения функции $F(x)$ и касательной $y(x)$ в точке $x_0$ совпадают ($F(x_0) = y(x_0)$).

Нахождение абсциссы точки касания

Производная первообразной $F'(x)$ по определению равна исходной функции $f(x)$.
$F'(x) = f(x) = 7x - 4$.
Угловой коэффициент касательной $y = 10x + 3$ равен $k=10$.
Приравняем производную к угловому коэффициенту, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:
$F'(x_0) = 10$
$7x_0 - 4 = 10$
$7x_0 = 14$
$x_0 = 2$

Нахождение константы C

Теперь, когда мы знаем абсциссу точки касания $x_0 = 2$, воспользуемся вторым условием: $F(x_0) = y(x_0)$.
Найдем значение $y$ в точке касания, подставив $x_0=2$ в уравнение прямой:
$y(2) = 10 \cdot 2 + 3 = 20 + 3 = 23$.
Следовательно, точка касания имеет координаты $(2; 23)$.

Эта точка принадлежит графику первообразной $F(x)$, поэтому её координаты должны удовлетворять уравнению $F(x) = 3.5x^2 - 4x + C$. Подставим координаты точки $(2; 23)$ в это уравнение, чтобы найти $C$:
$F(2) = 23$
$3.5 \cdot (2)^2 - 4 \cdot 2 + C = 23$
$3.5 \cdot 4 - 8 + C = 23$
$14 - 8 + C = 23$
$6 + C = 23$
$C = 23 - 6$
$C = 17$

Запись искомой первообразной

Подставив найденное значение $C = 17$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:
$F(x) = 3.5x^2 - 4x + 17$.

Ответ: $F(x) = 3.5x^2 - 4x + 17$.

88. Вычислите интеграл:

1) $\int_{-1}^{3} (x + 2)dx;$

2) $\int_{0}^{5} (x^2 - 3x)dx;$

3) $\int_{-3}^{2} (x - 4)^2 dx;$

14) $\int_{8}^{27} \sqrt[3]{x}dx;$

4) $\int_{1}^{2} (5x - 9)^4 dx;$

15) $\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x}dx;$

5) $\int_{-2.5}^{-2} \frac{8dx}{(2x + 3)^3};$

16) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \cos\left(\frac{\pi}{3} - 3x\right) dx;$

6) $\int_{1}^{9} \left(1 + \frac{2}{\sqrt{x}}\right) dx;$

17) $\int_{0}^{\ln 5} e^x dx;$

7) $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{4x + 5}};$

18) $\int_{2}^{3} 5^x dx;$

8) $\int_{0}^{6} \frac{dx}{\sqrt{4 - \frac{x}{2}}};$

19) $\int_{-8}^{0} e^{-\frac{x}{8}} dx;$

9) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} \cos x dx;$

20) $\int_{3}^{27} \frac{dx}{x};$

10) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin \frac{x}{2} dx;$

21) $\int_{e}^{e^5} \frac{3}{x} dx;$

11) $\int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} \frac{dx}{\cos^2 x};$

22) $\int_{-3}^{-1} \left(\frac{4}{x} - x\right) dx;$

12) $\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{9}} \frac{dx}{\sin^2 3x};$

23) $\int_{0}^{5} \frac{dx}{7x + 5};$

13) $\int_{4}^{9} \sqrt{x}dx;$

24) $\int_{-2}^{0} \frac{dx}{3x - 2};$

1) $\int_{-1}^{3} (x + 2) dx = \left(\frac{x^2}{2} + 2x\right) \Big|_{-1}^{3} = \left(\frac{3^2}{2} + 2 \cdot 3\right) - \left(\frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1)\right) = \left(\frac{9}{2} + 6\right) - \left(\frac{1}{2} - 2\right) = \frac{21}{2} - \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{24}{2} = 12$.
Ответ: $12$.

2) $\int_{0}^{5} (x^2 - 3x) dx = \left(\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}\right) \Big|_{0}^{5} = \left(\frac{5^3}{3} - \frac{3 \cdot 5^2}{2}\right) - 0 = \frac{125}{3} - \frac{75}{2} = \frac{250 - 225}{6} = \frac{25}{6}$.
Ответ: $\frac{25}{6}$.

3) $\int_{-3}^{2} (x - 4)^2 dx = \left(\frac{(x-4)^3}{3}\right) \Big|_{-3}^{2} = \frac{(2-4)^3}{3} - \frac{(-3-4)^3}{3} = \frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-7)^3}{3} = \frac{-8 - (-343)}{3} = \frac{335}{3}$.
Ответ: $\frac{335}{3}$.

4) $\int_{1}^{2} (5x - 9)^4 dx = \left(\frac{(5x-9)^5}{5 \cdot 5}\right) \Big|_{1}^{2} = \frac{1}{25}\left((5 \cdot 2 - 9)^5 - (5 \cdot 1 - 9)^5\right) = \frac{1}{25}(1^5 - (-4)^5) = \frac{1 - (-1024)}{25} = \frac{1025}{25} = 41$.
Ответ: $41$.

5) $\int_{-2,5}^{-2} \frac{8dx}{(2x + 3)^3} = 8\int_{-2,5}^{-2} (2x+3)^{-3} dx = 8\left(\frac{(2x+3)^{-2}}{-2 \cdot 2}\right) \Big|_{-2,5}^{-2} = -2\left[\frac{1}{(2x+3)^2}\right]_{-2,5}^{-2} = -2\left(\frac{1}{(2(-2)+3)^2} - \frac{1}{(2(-2,5)+3)^2}\right) = -2\left(\frac{1}{(-1)^2} - \frac{1}{(-2)^2}\right) = -2\left(1 - \frac{1}{4}\right) = -2\left(\frac{3}{4}\right) = -\frac{3}{2}$.
Ответ: $-\frac{3}{2}$.

6) $\int_{1}^{9} \left(1 + \frac{2}{\sqrt{x}}\right) dx = \int_{1}^{9} (1 + 2x^{-1/2}) dx = \left(x + \frac{2x^{1/2}}{1/2}\right) \Big|_{1}^{9} = \left(x + 4\sqrt{x}\right) \Big|_{1}^{9} = (9 + 4\sqrt{9}) - (1 + 4\sqrt{1}) = (9 + 12) - (1 + 4) = 21 - 5 = 16$.
Ответ: $16$.

7) $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{4x + 5}} = \int_{-1}^{1} (4x+5)^{-1/2} dx = \left(\frac{(4x+5)^{1/2}}{1/2 \cdot 4}\right) \Big|_{-1}^{1} = \left(\frac{1}{2}\sqrt{4x+5}\right) \Big|_{-1}^{1} = \frac{1}{2}(\sqrt{4(1)+5} - \sqrt{4(-1)+5}) = \frac{1}{2}(\sqrt{9} - \sqrt{1}) = \frac{1}{2}(3-1) = 1$.
Ответ: $1$.

8) $\int_{0}^{6} \frac{dx}{\sqrt{4 - x/2}} = \int_{0}^{6} \left(4 - \frac{x}{2}\right)^{-1/2} dx = \left(\frac{(4 - x/2)^{1/2}}{1/2 \cdot (-1/2)}\right) \Big|_{0}^{6} = \left(-4\sqrt{4 - \frac{x}{2}}\right) \Big|_{0}^{6} = -4\left(\sqrt{4 - \frac{6}{2}} - \sqrt{4 - 0}\right) = -4(\sqrt{1} - \sqrt{4}) = -4(1-2) = 4$.
Ответ: $4$.

9) $\int_{\pi/6}^{\pi} \cos x dx = \left(\sin x\right) \Big|_{\pi/6}^{\pi} = \sin(\pi) - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

10) $\int_{\pi/2}^{\pi} \sin \frac{x}{2} dx = \left(-\frac{\cos(x/2)}{1/2}\right) \Big|_{\pi/2}^{\pi} = \left(-2\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right) \Big|_{\pi/2}^{\pi} = -2\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = -2\left(0 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

11) $\int_{3\pi/4}^{\pi} \frac{dx}{\cos^2 x} = (\tan x) \Big|_{3\pi/4}^{\pi} = \tan(\pi) - \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 0 - (-1) = 1$.
Ответ: $1$.

12) $\int_{\pi/12}^{\pi/9} \frac{dx}{\sin^2 3x} = \left(-\frac{\cot(3x)}{3}\right) \Big|_{\pi/12}^{\pi/9} = -\frac{1}{3}\left(\cot\left(\frac{3\pi}{9}\right) - \cot\left(\frac{3\pi}{12}\right)\right) = -\frac{1}{3}\left(\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cot\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = -\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{3}} - 1\right) = \frac{1}{3}\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{3-\sqrt{3}}{9}$.
Ответ: $\frac{3-\sqrt{3}}{9}$.

13) $\int_{4}^{9} \sqrt{x} dx = \int_{4}^{9} x^{1/2} dx = \left(\frac{x^{3/2}}{3/2}\right) \Big|_{4}^{9} = \left(\frac{2}{3}x\sqrt{x}\right) \Big|_{4}^{9} = \frac{2}{3}(9\sqrt{9} - 4\sqrt{4}) = \frac{2}{3}(27 - 8) = \frac{38}{3}$.
Ответ: $\frac{38}{3}$.

14) $\int_{8}^{27} \sqrt[3]{x} dx = \int_{8}^{27} x^{1/3} dx = \left(\frac{x^{4/3}}{4/3}\right) \Big|_{8}^{27} = \left(\frac{3}{4}x\sqrt[3]{x}\right) \Big|_{8}^{27} = \frac{3}{4}(27\sqrt[3]{27} - 8\sqrt[3]{8}) = \frac{3}{4}(81 - 16) = \frac{3}{4}(65) = \frac{195}{4}$.
Ответ: $\frac{195}{4}$.

15) $\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x} dx = \int_{-1}^{1} (1-x)^{1/2} dx = \left(-\frac{(1-x)^{3/2}}{3/2}\right) \Big|_{-1}^{1} = \left(-\frac{2}{3}(1-x)\sqrt{1-x}\right) \Big|_{-1}^{1} = -\frac{2}{3}(0 - (1-(-1))\sqrt{1-(-1)}) = -\frac{2}{3}(-2\sqrt{2}) = \frac{4\sqrt{2}}{3}$.
Ответ: $\frac{4\sqrt{2}}{3}$.

16) $\int_{\pi/3}^{2\pi/3} \cos\left(\frac{\pi}{3} - 3x\right) dx = \left(-\frac{1}{3}\sin\left(\frac{\pi}{3} - 3x\right)\right) \Big|_{\pi/3}^{2\pi/3} = -\frac{1}{3}\left(\sin\left(\frac{\pi}{3} - 2\pi\right) - \sin\left(\frac{\pi}{3} - \pi\right)\right) = -\frac{1}{3}\left(\sin\left(-\frac{5\pi}{3}\right) - \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right) = -\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) = -\frac{1}{3}(\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

17) $\int_{0}^{\ln 5} e^x dx = (e^x) \Big|_{0}^{\ln 5} = e^{\ln 5} - e^0 = 5 - 1 = 4$.
Ответ: $4$.

18) $\int_{2}^{3} 5^x dx = \left(\frac{5^x}{\ln 5}\right) \Big|_{2}^{3} = \frac{5^3 - 5^2}{\ln 5} = \frac{125 - 25}{\ln 5} = \frac{100}{\ln 5}$.
Ответ: $\frac{100}{\ln 5}$.

19) $\int_{-8}^{0} e^{-x/8} dx = \left(\frac{e^{-x/8}}{-1/8}\right) \Big|_{-8}^{0} = (-8e^{-x/8}) \Big|_{-8}^{0} = -8(e^0 - e^{-(-8)/8}) = -8(1 - e) = 8(e-1)$.
Ответ: $8(e-1)$.

20) $\int_{3}^{27} \frac{dx}{x} = (\ln|x|) \Big|_{3}^{27} = \ln 27 - \ln 3 = \ln\left(\frac{27}{3}\right) = \ln 9$.
Ответ: $\ln 9$.

21) $\int_{e}^{e^5} \frac{3}{x} dx = (3\ln|x|) \Big|_{e}^{e^5} = 3(\ln e^5 - \ln e) = 3(5 - 1) = 12$.
Ответ: $12$.

22) $\int_{-3}^{-1} \left(\frac{4}{x} - x\right) dx = \left(4\ln|x| - \frac{x^2}{2}\right) \Big|_{-3}^{-1} = \left(4\ln|-1| - \frac{(-1)^2}{2}\right) - \left(4\ln|-3| - \frac{(-3)^2}{2}\right) = \left(0 - \frac{1}{2}\right) - \left(4\ln 3 - \frac{9}{2}\right) = -\frac{1}{2} - 4\ln 3 + \frac{9}{2} = 4 - 4\ln 3$.
Ответ: $4 - 4\ln 3$.

23) $\int_{0}^{5} \frac{dx}{7x+5} = \left(\frac{1}{7}\ln|7x+5|\right) \Big|_{0}^{5} = \frac{1}{7}(\ln|7 \cdot 5 + 5| - \ln|7 \cdot 0 + 5|) = \frac{1}{7}(\ln 40 - \ln 5) = \frac{1}{7}\ln\left(\frac{40}{5}\right) = \frac{1}{7}\ln 8$.
Ответ: $\frac{1}{7}\ln 8$.

24) $\int_{-2}^{0} \frac{dx}{3x-2} = \left(\frac{1}{3}\ln|3x-2|\right) \Big|_{-2}^{0} = \frac{1}{3}(\ln|3 \cdot 0 - 2| - \ln|3(-2) - 2|) = \frac{1}{3}(\ln|-2| - \ln|-8|) = \frac{1}{3}(\ln 2 - \ln 8) = \frac{1}{3}\ln\left(\frac{2}{8}\right) = \frac{1}{3}\ln\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{3}\ln 4$.
Ответ: $-\frac{1}{3}\ln 4$.