Страница 21 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

90. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной:

1) параболой $y = x^2$ и прямыми $y = 0, x = -2$ и $x = -1;

2) графиком функции $y = x^3$ и прямыми $y = 0$ и $x = 1;

3) графиком функции $y = \cos x$ и прямыми $y = 0, x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{6};

4) параболой $y = 4 - x^2$ и осью абсцисс;

5) параболой $y = x^2 - 2x$, осью абсцисс и прямой $x = 4;

6) графиком функции $y = \sqrt{x}$ и прямыми $y = 0, x = 1$ и $x = 9;

7) графиком функции $y = \sqrt{x - 3}$ и прямыми $y = 0$ и $x = 7;

8) графиком функции $y = \sin 2x$ и прямыми $y = 0, x = \frac{\pi}{8}$ и $x = \frac{3\pi}{8};

9) графиком функции $y = 3^x$ и прямыми $y = 0, x = -1$ и $x = 1;

10) графиком функции $y = \frac{1}{x}$ и прямыми $y = 0, x = 1$ и $x = 4.

1) Заданная криволинейная трапеция ограничена параболой $y = x^2$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=-2$, $x=-1$. Площадь вычисляется как определенный интеграл от функции $f(x)=x^2$ в заданных пределах. На отрезке $[-2, -1]$ функция $f(x) \ge 0$.
$S = \int_{-2}^{-1} x^2 \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{-1} = \frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{-1}{3} - \frac{-8}{3} = \frac{-1+8}{3} = \frac{7}{3}$.
Ответ: $\frac{7}{3}$.

2) Фигура ограничена графиком $y = x^3$, осью $y=0$ и прямой $x=1$. Нижней границей интегрирования является точка пересечения графика с осью абсцисс, то есть $x=0$. На отрезке $[0, 1]$ функция $f(x) \ge 0$.
$S = \int_0^1 x^3 \,dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

3) Фигура ограничена графиком $y = \cos x$, осью $y=0$ и прямыми $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{6}$. На отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}]$ функция $f(x) = \cos x \ge 0$.
$S = \int_{-\pi/2}^{\pi/6} \cos x \,dx = \left[ \sin x \right]_{-\pi/2}^{\pi/6} = \sin(\frac{\pi}{6}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} - (-1) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

4) Фигура ограничена параболой $y = 4 - x^2$ и осью абсцисс. Пределы интегрирования находим из условия $4 - x^2 = 0$, откуда $x = -2$ и $x = 2$. На отрезке $[-2, 2]$ функция $f(x) \ge 0$.
$S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \,dx = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = (4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}) - (4 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{3}) = (8 - \frac{8}{3}) - (-8 + \frac{8}{3}) = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$.
Ответ: $\frac{32}{3}$.

5) Фигура ограничена параболой $y = x^2 - 2x$, осью абсцисс и прямой $x = 4$. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=0$ и $x=2$. На отрезке $[0, 2]$ функция $y \le 0$, а на отрезке $[2, 4]$ — $y \ge 0$. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от модуля функции на отрезке от $x=0$ до $x=4$.
$S = \int_0^4 |x^2 - 2x| \,dx = \int_0^2 -(x^2 - 2x) \,dx + \int_2^4 (x^2 - 2x) \,dx = \int_0^2 (2x - x^2) \,dx + \int_2^4 (x^2 - 2x) \,dx$.
$S = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 + \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_2^4 = \left(2^2 - \frac{2^3}{3}\right) + \left(\left(\frac{4^3}{3} - 4^2\right) - \left(\frac{2^3}{3} - 2^2\right)\right) = \left(4 - \frac{8}{3}\right) + \left(\left(\frac{64}{3} - 16\right) - \left(\frac{8}{3} - 4\right)\right) = \frac{4}{3} + \left(\frac{16}{3} - \left(-\frac{4}{3}\right)\right) = \frac{4}{3} + \frac{20}{3} = \frac{24}{3} = 8$.
Ответ: $8$.

6) Фигура ограничена графиком $y = \sqrt{x}$, осью $y=0$ и прямыми $x=1$ и $x=9$. На отрезке $[1, 9]$ функция $f(x) \ge 0$.
$S = \int_1^9 \sqrt{x} \,dx = \int_1^9 x^{1/2} \,dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_1^9 = \frac{2}{3}(9^{3/2}) - \frac{2}{3}(1^{3/2}) = \frac{2}{3}(27) - \frac{2}{3} = 18 - \frac{2}{3} = \frac{52}{3}$.
Ответ: $\frac{52}{3}$.

7) Фигура ограничена графиком $y = \sqrt{x-3}$, осью $y=0$ и прямой $x=7$. Нижняя граница интегрирования — точка пересечения графика с осью абсцисс: $\sqrt{x-3}=0 \Rightarrow x=3$. На отрезке $[3, 7]$ функция $f(x) \ge 0$.
$S = \int_3^7 \sqrt{x-3} \,dx = \left[ \frac{2}{3}(x-3)^{3/2} \right]_3^7 = \frac{2}{3}(7-3)^{3/2} - \frac{2}{3}(3-3)^{3/2} = \frac{2}{3}(4^{3/2}) - 0 = \frac{2}{3}(8) = \frac{16}{3}$.
Ответ: $\frac{16}{3}$.

8) Фигура ограничена графиком $y = \sin(2x)$, осью $y=0$ и прямыми $x = \frac{\pi}{8}$ и $x = \frac{3\pi}{8}$. На данном отрезке $2x$ изменяется от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{3\pi}{4}$, где $\sin(2x) \ge 0$.
$S = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} \sin(2x) \,dx = \left[ -\frac{1}{2}\cos(2x) \right]_{\pi/8}^{3\pi/8} = -\frac{1}{2}\cos(2 \cdot \frac{3\pi}{8}) - (-\frac{1}{2}\cos(2 \cdot \frac{\pi}{8})) = -\frac{1}{2}\cos(\frac{3\pi}{4}) + \frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

9) Фигура ограничена графиком $y = 3^x$, осью $y=0$ и прямыми $x=-1$ и $x=1$. Функция $f(x)=3^x > 0$ для всех $x$.
$S = \int_{-1}^{1} 3^x \,dx = \left[ \frac{3^x}{\ln 3} \right]_{-1}^{1} = \frac{3^1}{\ln 3} - \frac{3^{-1}}{\ln 3} = \frac{3 - \frac{1}{3}}{\ln 3} = \frac{\frac{8}{3}}{\ln 3} = \frac{8}{3\ln 3}$.
Ответ: $\frac{8}{3\ln 3}$.

10) Фигура ограничена графиком $y = \frac{1}{x}$, осью $y=0$ и прямыми $x=1$ и $x=4$. На отрезке $[1, 4]$ функция $f(x) > 0$.
$S = \int_1^4 \frac{1}{x} \,dx = \left[ \ln|x| \right]_1^4 = \ln(4) - \ln(1) = \ln(4) - 0 = \ln(4)$.
Ответ: $\ln(4)$.

91. Сравните площади криволинейных трапеций, заштрихованных на рисунке 2.

Рис. 2

$y = \frac{12}{x}$

Для сравнения площадей заштрихованных криволинейных трапеций необходимо вычислить их с помощью определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$ (где $f(x) \ge 0$), осью абсцисс $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$ ($a < b$), вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.

В данном случае функция $f(x) = \frac{12}{x}$.

Найдем первообразную для этой функции. Первообразной для $\frac{1}{x}$ является $\ln|x|$. Следовательно, для $f(x) = \frac{12}{x}$ первообразной будет $F(x) = 12 \ln|x|$. Так как в обоих случаях рассматриваются положительные значения $x$, то $F(x) = 12 \ln(x)$.

Теперь вычислим площадь первой заштрихованной фигуры, $S_1$, которая ограничена прямыми $x=1$ и $x=2$.

$S_1 = \int_{1}^{2} \frac{12}{x} \,dx = 12 \ln(x) \Big|_1^2 = 12 \ln(2) - 12 \ln(1)$

Так как $\ln(1) = 0$, то площадь первой фигуры равна:

$S_1 = 12 \ln(2)$

Далее вычислим площадь второй заштрихованной фигуры, $S_2$, которая ограничена прямыми $x=6$ и $x=12$.

$S_2 = \int_{6}^{12} \frac{12}{x} \,dx = 12 \ln(x) \Big|_6^{12} = 12 \ln(12) - 12 \ln(6)$

Используя свойство логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$, преобразуем выражение:

$S_2 = 12(\ln(12) - \ln(6)) = 12 \ln(\frac{12}{6}) = 12 \ln(2)$

Сравнивая полученные результаты, видим, что $S_1 = 12 \ln(2)$ и $S_2 = 12 \ln(2)$. Следовательно, $S_1 = S_2$.

Ответ: Площади заштрихованных криволинейных трапеций равны.