Страница 28 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. В классе учатся 15 мальчиков и 12 девочек. В уборке класса должны принять участие 4 мальчика и 3 девочки. Сколько существует способов составить такую группу дежурных?

Данная задача относится к разделу комбинаторики. Поскольку порядок выбора учеников для дежурства не важен, мы будем использовать формулу для нахождения числа сочетаний. Общее число способов будет равно произведению числа способов выбрать мальчиков и числа способов выбрать девочек.

1. Найдем количество способов выбрать мальчиков.
Нужно выбрать 4 мальчика из 15. Число способов сделать это вычисляется по формуле числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.
В нашем случае $n=15$, $k=4$:
$C_{15}^4 = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4!11!} = \frac{12 \times 13 \times 14 \times 15}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{32760}{24} = 1365$
Следовательно, существует 1365 способов выбрать 4 мальчика для дежурства.

2. Найдем количество способов выбрать девочек.
Нужно выбрать 3 девочки из 12. Используем ту же формулу сочетаний, где $n=12$, $k=3$:
$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{10 \times 11 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1320}{6} = 220$
Таким образом, существует 220 способов выбрать 3 девочки для дежурства.

3. Найдем общее количество способов составить группу.
Согласно правилу произведения в комбинаторике, чтобы найти общее число способов сформировать группу, необходимо перемножить число способов выбора мальчиков и число способов выбора девочек, так как эти выборы являются независимыми событиями.
Общее число способов = (Число способов выбрать мальчиков) $\times$ (Число способов выбрать девочек)
Общее число способов = $C_{15}^4 \times C_{12}^3 = 1365 \times 220 = 300300$

Ответ: 300300

127. На прямой отметили 17 точек, а на параллельной ей прямой — 9 точек. Сколько существует четырёхугольников с вершинами в отмеченных точках?

Для того чтобы четыре точки образовывали четырёхугольник, никакие три из них не должны лежать на одной прямой. В условиях задачи, когда точки расположены на двух параллельных прямых, это означает, что для образования четырёхугольника необходимо выбрать две вершины на одной прямой и две вершины на другой.

Выбор вершин на первой прямой

На первой прямой находится 17 точек. Количество способов выбрать 2 точки из 17 определяется числом сочетаний из 17 по 2, которое вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставляем значения $n=17$ и $k=2$:

$C_{17}^2 = \frac{17!}{2!(17-2)!} = \frac{17!}{2! \cdot 15!} = \frac{16 \times 17}{2 \times 1} = 8 \times 17 = 136$ способов.

Выбор вершин на второй прямой

На второй прямой находится 9 точек. Аналогично, вычисляем количество способов выбрать 2 точки из 9:

$C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2! \cdot 7!} = \frac{8 \times 9}{2 \times 1} = 4 \times 9 = 36$ способов.

Расчет общего количества четырёхугольников

Чтобы найти общее количество возможных четырёхугольников, нужно перемножить количество способов выбора вершин на каждой из прямых, так как каждый выбор двух точек на первой прямой может быть скомбинирован с каждым выбором двух точек на второй.

Общее количество = $C_{17}^2 \times C_9^2 = 136 \times 36$.

Выполним умножение:

$136 \times 36 = 4896$.

Таким образом, существует 4896 четырёхугольников с вершинами в отмеченных точках.

Ответ: 4896.

128. На прямой отметили 17 точек, а на параллельной ей прямой — 9 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?

Для того чтобы три точки образовали треугольник, они не должны лежать на одной прямой. В данной задаче точки расположены на двух параллельных прямых. Обозначим первую прямую, на которой 17 точек, как $l_1$, а вторую прямую, на которой 9 точек, как $l_2$.

Чтобы составить треугольник, его вершины нужно выбрать одним из двух следующих способов:
1. Две вершины на прямой $l_1$ и одна вершина на прямой $l_2$.
2. Одна вершина на прямой $l_1$ и две вершины на прямой $l_2$.

Рассмотрим оба случая, используя формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее число элементов, а $k$ — число выбираемых элементов.

Случай 1: Две вершины на первой прямой и одна на второй

Сначала найдем количество способов выбрать 2 точки из 17, расположенных на прямой $l_1$. Это число сочетаний из 17 по 2:
$C_{17}^2 = \frac{17!}{2!(17-2)!} = \frac{17 \cdot 16}{2 \cdot 1} = 17 \cdot 8 = 136$.

Затем найдем количество способов выбрать 1 точку из 9, расположенных на прямой $l_2$:
$C_9^1 = \frac{9!}{1!(9-1)!} = 9$.

Общее количество треугольников в этом случае находится по правилу произведения в комбинаторике:
$N_1 = C_{17}^2 \cdot C_9^1 = 136 \cdot 9 = 1224$.

Случай 2: Одна вершина на первой прямой и две на второй

Теперь найдем количество способов выбрать 1 точку из 17 на прямой $l_1$:
$C_{17}^1 = \frac{17!}{1!(17-1)!} = 17$.

Далее найдем количество способов выбрать 2 точки из 9 на прямой $l_2$:
$C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 9 \cdot 4 = 36$.

Общее количество треугольников для этого случая:
$N_2 = C_{17}^1 \cdot C_9^2 = 17 \cdot 36 = 612$.

Общее количество треугольников

Чтобы найти общее количество всех возможных треугольников, нужно сложить количества, полученные в первом и втором случаях:
$N_{общ} = N_1 + N_2 = 1224 + 612 = 1836$.

Ответ: 1836

129. Сколько существует способов выбрать из натуральных чисел от 1 до 25 семь чисел так, чтобы среди выбранных было ровно два чётных числа?

Для решения этой задачи необходимо использовать принципы комбинаторики. Задача состоит из двух независимых частей: выбор чётных чисел и выбор нечётных чисел.

1. Сначала определим количество чётных и нечётных чисел в заданном диапазоне от 1 до 25.
- Чётные числа: 2, 4, 6, ..., 24. Всего 12 чётных чисел.
- Нечётные числа: 1, 3, 5, ..., 25. Всего 13 нечётных чисел.

2. Согласно условию, из 7 выбранных чисел ровно 2 должны быть чётными. Это означает, что остальные $7 - 2 = 5$ чисел должны быть нечётными.

3. Теперь рассчитаем количество способов для каждого выбора. Поскольку порядок выбора чисел не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

- Количество способов выбрать 2 чётных числа из 12 имеющихся:
$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{11 \times 12}{2 \times 1} = 66$ способов.

- Количество способов выбрать 5 нечётных чисел из 13 имеющихся:
$C_{13}^5 = \frac{13!}{5!(13-5)!} = \frac{13!}{5!8!} = \frac{9 \times 10 \times 11 \times 12 \times 13}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5} = 1287$ способов.

4. Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить количество способов для каждого независимого выбора (согласно правилу произведения в комбинаторике).
Общее количество способов = (способы выбрать 2 чётных) $\times$ (способы выбрать 5 нечётных).
$N = C_{12}^2 \times C_{13}^5 = 66 \times 1287 = 84942$.

Ответ: 84942

130. В первые три вагона поезда надо рассадить 30 пассажиров по 10 в каждый вагон. Сколько существует способов это сделать?

Эта задача относится к разделу комбинаторики и решается с помощью последовательного применения формулы для числа сочетаний. Нам нужно разбить 30 уникальных пассажиров на три упорядоченные группы (вагоны) по 10 человек в каждой.

1. Сначала выберем 10 пассажиров для первого вагона.
Из 30 пассажиров нужно выбрать 10. Порядок, в котором мы выбираем пассажиров для одного вагона, не важен, поэтому мы используем формулу числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Количество способов выбрать 10 пассажиров из 30:
$C_{30}^{10} = \frac{30!}{10!(30-10)!} = \frac{30!}{10!20!}$

2. Затем выберем 10 пассажиров для второго вагона.
После того как 10 пассажиров были выбраны для первого вагона, осталось $30 - 10 = 20$ пассажиров. Из них нужно выбрать 10 для второго вагона.
Количество способов выбрать 10 пассажиров из оставшихся 20:
$C_{20}^{10} = \frac{20!}{10!(20-10)!} = \frac{20!}{10!10!}$

3. Выберем 10 пассажиров для третьего вагона.
Осталось $20 - 10 = 10$ пассажиров. Все они должны сесть в третий вагон. Существует только один способ выбрать 10 пассажиров из 10.
$C_{10}^{10} = \frac{10!}{10!(10-10)!} = \frac{10!}{10!0!} = 1$ (так как по определению $0! = 1$).

Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить количество способов для каждого этапа, так как выборы для каждого вагона являются независимыми событиями в последовательности.
Общее число способов $N = C_{30}^{10} \times C_{20}^{10} \times C_{10}^{10}$
$N = \frac{30!}{10!20!} \times \frac{20!}{10!10!} \times 1$
Сократив $20!$ в числителе и знаменателе, получим:
$N = \frac{30!}{10! \cdot 10! \cdot 10!} = \frac{30!}{(10!)^3}$

Это число также известно как мультиномиальный коэффициент $\binom{30}{10, 10, 10}$.
Ответ: $\frac{30!}{(10!)^3}$

131. Сколько существует способов выбрать из натуральных чисел от 1 до 25 семь чисел так, чтобы среди выбранных было не менее двух чётных чисел?

Для решения данной задачи воспользуемся методом от противного. Сначала найдем общее количество способов выбрать 7 чисел из 25, а затем вычтем из него количество "неподходящих" способов. "Неподходящие" способы — это те, при которых среди выбранных чисел менее двух четных, то есть ноль четных или одно четное число.

В диапазоне от 1 до 25 содержится:
- 12 четных чисел (2, 4, ..., 24)
- 13 нечетных чисел (1, 3, ..., 25)

1. Найдем общее число способов выбрать 7 чисел из 25.
Это число сочетаний из 25 по 7, которое вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
$N_{общ} = C_{25}^7 = \frac{25!}{7!(25-7)!} = \frac{25!}{7!18!} = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 480700$ способов.

2. Найдем количество "неподходящих" способов.
Это случаи, когда выбрано 0 четных чисел или 1 четное число.

а) Выбрано 0 четных и 7 нечетных чисел.
Число способов выбрать 0 четных из 12 равно $C_{12}^0 = 1$.
Число способов выбрать 7 нечетных из 13 равно $C_{13}^7 = \frac{13!}{7!(13-7)!} = \frac{13!}{7!6!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1716$.
Общее число способов для этого случая: $N_0 = C_{12}^0 \times C_{13}^7 = 1 \times 1716 = 1716$.

б) Выбрано 1 четное и 6 нечетных чисел.
Число способов выбрать 1 четное из 12 равно $C_{12}^1 = 12$.
Число способов выбрать 6 нечетных из 13 равно $C_{13}^6 = \frac{13!}{6!(13-6)!} = \frac{13!}{6!7!} = C_{13}^7 = 1716$.
Общее число способов для этого случая: $N_1 = C_{12}^1 \times C_{13}^6 = 12 \times 1716 = 20592$.

Суммарное количество "неподходящих" способов: $N_{неподх} = N_0 + N_1 = 1716 + 20592 = 22308$.

3. Найдем искомое количество способов.
Для этого вычтем из общего числа способов количество "неподходящих" способов.
$N = N_{общ} - N_{неподх} = 480700 - 22308 = 458392$.
Таким образом, существует 458 392 способа выбрать 7 чисел из 25 так, чтобы среди них было не менее двух четных.
Ответ: 458392.

132. Прямые $a$, $b$ и $c$ параллельны, но не лежат в одной плоскости. На указанных прямых отметили соответственно 7, 9 и 10 точек. Сколько существует тетраэдров с вершинами в отмеченных точках?

Для того чтобы четыре точки могли быть вершинами тетраэдра, они не должны лежать в одной плоскости. По условию, у нас есть три параллельные прямые a, b и c, которые не лежат в одной плоскости. На прямой a отмечено 7 точек, на прямой b — 9 точек, и на прямой c — 10 точек.

Тетраэдр не может быть образован, если все четыре его вершины лежат в одной плоскости (копланарны). Это произойдет в следующих случаях:

- Все четыре точки выбраны на одной из прямых (они коллинеарны).

- Три точки выбраны на одной прямой, а четвертая — на другой. Три точки определяют прямую, а прямая и точка вне ее задают плоскость.

- Две точки выбраны на одной прямой и две — на другой. Две параллельные прямые также задают плоскость.

Единственный способ выбрать четыре не копланарные точки (т.е. образовать тетраэдр) — это взять две точки с одной прямой и по одной точке с двух других прямых. Например, если взять две точки с прямой a, одну с b и одну с c, то точки с прямых a и b лежат в плоскости, определяемой этими параллельными прямыми, а точка с прямой c не лежит в этой плоскости по условию задачи. Таким образом, эти четыре точки не копланарны.

Рассмотрим все возможные комбинации, которые приводят к образованию тетраэдра:

1. Выбираем 2 точки с прямой a, 1 точку с прямой b и 1 точку с прямой c. Число способов сделать это равно произведению числа сочетаний для каждой прямой: $C_7^2 \cdot C_9^1 \cdot C_{10}^1 = \frac{7 \cdot 6}{2} \cdot 9 \cdot 10 = 21 \cdot 90 = 1890$.

2. Выбираем 2 точки с прямой b, 1 точку с прямой a и 1 точку с прямой c. Число способов: $C_9^2 \cdot C_7^1 \cdot C_{10}^1 = \frac{9 \cdot 8}{2} \cdot 7 \cdot 10 = 36 \cdot 70 = 2520$.

3. Выбираем 2 точки с прямой c, 1 точку с прямой a и 1 точку с прямой b. Число способов: $C_{10}^2 \cdot C_7^1 \cdot C_9^1 = \frac{10 \cdot 9}{2} \cdot 7 \cdot 9 = 45 \cdot 63 = 2835$.

Общее количество тетраэдров равно сумме количества способов в этих трех взаимоисключающих случаях: $1890 + 2520 + 2835 = 7245$.

Ответ: 7245

133. Раскройте скобки в выражении:

1) $(x - y)^7;$

2) $(3x - 1)^4;$

3) $(a^2 + 1)^6;$

4) $(\frac{1}{x} - 1)^5.$

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - биномиальные коэффициенты.

Значения коэффициентов $C_n^k$ для нужных степеней $n$ можно взять из треугольника Паскаля:

• для $n=4$: 1, 4, 6, 4, 1
• для $n=5$: 1, 5, 10, 10, 5, 1
• для $n=6$: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
• для $n=7$: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1

1) Раскроем скобки в выражении $(x-y)^7$.

Применим формулу бинома Ньютона, где $a=x$, $b=-y$ и $n=7$.

$(x - y)^7 = C_7^0 x^7 (-y)^0 + C_7^1 x^6 (-y)^1 + C_7^2 x^5 (-y)^2 + C_7^3 x^4 (-y)^3 + C_7^4 x^3 (-y)^4 + C_7^5 x^2 (-y)^5 + C_7^6 x^1 (-y)^6 + C_7^7 x^0 (-y)^7$

Подставляем значения биномиальных коэффициентов для $n=7$ и упрощаем выражение, обращая внимание на знаки, которые чередуются из-за $(-y)$ в нечетных степенях:

$(x - y)^7 = 1 \cdot x^7 \cdot 1 - 7 \cdot x^6 y + 21 \cdot x^5 y^2 - 35 \cdot x^4 y^3 + 35 \cdot x^3 y^4 - 21 \cdot x^2 y^5 + 7 \cdot x y^6 - 1 \cdot y^7$

$(x - y)^7 = x^7 - 7x^6y + 21x^5y^2 - 35x^4y^3 + 35x^3y^4 - 21x^2y^5 + 7xy^6 - y^7$

Ответ: $x^7 - 7x^6y + 21x^5y^2 - 35x^4y^3 + 35x^3y^4 - 21x^2y^5 + 7xy^6 - y^7$

2) Раскроем скобки в выражении $(3x-1)^4$.

Здесь $a=3x$, $b=-1$ и $n=4$.

$(3x - 1)^4 = C_4^0 (3x)^4 (-1)^0 + C_4^1 (3x)^3 (-1)^1 + C_4^2 (3x)^2 (-1)^2 + C_4^3 (3x)^1 (-1)^3 + C_4^4 (3x)^0 (-1)^4$

Подставляем коэффициенты для $n=4$ и вычисляем степени:

$(3x - 1)^4 = 1 \cdot (81x^4) \cdot 1 + 4 \cdot (27x^3) \cdot (-1) + 6 \cdot (9x^2) \cdot 1 + 4 \cdot (3x) \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \cdot 1$

$(3x - 1)^4 = 81x^4 - 108x^3 + 54x^2 - 12x + 1$

Ответ: $81x^4 - 108x^3 + 54x^2 - 12x + 1$

3) Раскроем скобки в выражении $(a^2+1)^6$.

Здесь $a=a^2$, $b=1$ и $n=6$.

$(a^2 + 1)^6 = C_6^0 (a^2)^6 (1)^0 + C_6^1 (a^2)^5 (1)^1 + C_6^2 (a^2)^4 (1)^2 + C_6^3 (a^2)^3 (1)^3 + C_6^4 (a^2)^2 (1)^4 + C_6^5 (a^2)^1 (1)^5 + C_6^6 (a^2)^0 (1)^6$

Так как $1$ в любой степени равен $1$, все слагаемые будут со знаком плюс. Подставляем коэффициенты для $n=6$ и упрощаем:

$(a^2 + 1)^6 = 1 \cdot a^{12} + 6 \cdot a^{10} + 15 \cdot a^8 + 20 \cdot a^6 + 15 \cdot a^4 + 6 \cdot a^2 + 1 \cdot 1$

$(a^2 + 1)^6 = a^{12} + 6a^{10} + 15a^8 + 20a^6 + 15a^4 + 6a^2 + 1$

Ответ: $a^{12} + 6a^{10} + 15a^8 + 20a^6 + 15a^4 + 6a^2 + 1$

4) Раскроем скобки в выражении $(\frac{1}{x}-1)^5$.

Здесь $a=\frac{1}{x}$, $b=-1$ и $n=5$.

$(\frac{1}{x} - 1)^5 = C_5^0 (\frac{1}{x})^5 (-1)^0 + C_5^1 (\frac{1}{x})^4 (-1)^1 + C_5^2 (\frac{1}{x})^3 (-1)^2 + C_5^3 (\frac{1}{x})^2 (-1)^3 + C_5^4 (\frac{1}{x})^1 (-1)^4 + C_5^5 (\frac{1}{x})^0 (-1)^5$

Подставляем коэффициенты для $n=5$ и упрощаем, учитывая чередование знаков:

$(\frac{1}{x} - 1)^5 = 1 \cdot \frac{1}{x^5} \cdot 1 + 5 \cdot \frac{1}{x^4} \cdot (-1) + 10 \cdot \frac{1}{x^3} \cdot 1 + 10 \cdot \frac{1}{x^2} \cdot (-1) + 5 \cdot \frac{1}{x} \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-1)$

$(\frac{1}{x} - 1)^5 = \frac{1}{x^5} - \frac{5}{x^4} + \frac{10}{x^3} - \frac{10}{x^2} + \frac{5}{x} - 1$

Ответ: $\frac{1}{x^5} - \frac{5}{x^4} + \frac{10}{x^3} - \frac{10}{x^2} + \frac{5}{x} - 1$

134. Вычислите сумму $3^n + C_n^1 3^{n-1} + C_n^2 3^{n-2} + \dots + C_n^{n-1} 3 + 1$.

Данное выражение представляет собой разложение бинома Ньютона.

Формула бинома Ньютона для степени $n$ имеет вид:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + ... + C_n^{n-1} a^1 b^{n-1} + C_n^n a^0 b^n$.

Рассмотрим заданную сумму:

$S = 3^n + C_n^1 3^{n-1} + C_n^2 3^{n-2} + ... + C_n^{n-1} 3 + 1$.

Мы можем переписать эту сумму, используя свойства биномиальных коэффициентов ($C_n^0 = 1$ и $C_n^n = 1$) и свойства степеней ($a^0=1$ и $1^k=1$).

Первый член: $3^n = 1 \cdot 3^n \cdot 1 = C_n^0 \cdot 3^n \cdot 1^0$.

Второй член: $C_n^1 3^{n-1} = C_n^1 \cdot 3^{n-1} \cdot 1^1$.

Третий член: $C_n^2 3^{n-2} = C_n^2 \cdot 3^{n-2} \cdot 1^2$.

...

Предпоследний член: $C_n^{n-1} 3 = C_n^{n-1} \cdot 3^1 = C_n^{n-1} \cdot 3^1 \cdot 1^{n-1}$.

Последний член: $1 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = C_n^n \cdot 3^0 \cdot 1^n$.

Таким образом, вся сумма может быть записана в виде:

$S = C_n^0 3^n 1^0 + C_n^1 3^{n-1} 1^1 + C_n^2 3^{n-2} 1^2 + ... + C_n^{n-1} 3^1 1^{n-1} + C_n^n 3^0 1^n$.

Это в точности соответствует формуле бинома Ньютона для $a = 3$ и $b = 1$:

$S = (3+1)^n$.

Вычисляем значение:

$S = 4^n$.

Ответ: $4^n$.