Номер 126, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. В классе учатся 15 мальчиков и 12 девочек. В уборке класса должны принять участие 4 мальчика и 3 девочки. Сколько существует способов составить такую группу дежурных?

Данная задача относится к разделу комбинаторики. Поскольку порядок выбора учеников для дежурства не важен, мы будем использовать формулу для нахождения числа сочетаний. Общее число способов будет равно произведению числа способов выбрать мальчиков и числа способов выбрать девочек.

1. Найдем количество способов выбрать мальчиков.
Нужно выбрать 4 мальчика из 15. Число способов сделать это вычисляется по формуле числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.
В нашем случае $n=15$, $k=4$:
$C_{15}^4 = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4!11!} = \frac{12 \times 13 \times 14 \times 15}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{32760}{24} = 1365$
Следовательно, существует 1365 способов выбрать 4 мальчика для дежурства.

2. Найдем количество способов выбрать девочек.
Нужно выбрать 3 девочки из 12. Используем ту же формулу сочетаний, где $n=12$, $k=3$:
$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{10 \times 11 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1320}{6} = 220$
Таким образом, существует 220 способов выбрать 3 девочки для дежурства.

3. Найдем общее количество способов составить группу.
Согласно правилу произведения в комбинаторике, чтобы найти общее число способов сформировать группу, необходимо перемножить число способов выбора мальчиков и число способов выбора девочек, так как эти выборы являются независимыми событиями.
Общее число способов = (Число способов выбрать мальчиков) $\times$ (Число способов выбрать девочек)
Общее число способов = $C_{15}^4 \times C_{12}^3 = 1365 \times 220 = 300300$

Ответ: 300300