Номер 119, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. В легкоатлетической секции занимаются 11 десятиклассников и 5 девятиклассников. Сколько существует способов сформировать команду для участия в эстафете, состоящей из шести этапов, если на первом и последнем этапах должны участвовать девятиклассники?

Для решения этой задачи необходимо использовать принципы комбинаторики, в частности, размещения, так как важен порядок участников в эстафете. Процесс формирования команды можно разбить на два основных шага.

1. Выбор участников на первый и последний этапы.

Согласно условию, на первом и последнем (шестом) этапах должны бежать девятиклассники. Всего в секции 5 девятиклассников. Нам нужно выбрать двух из них и расставить на две определенные позиции (первую и последнюю). Число способов это сделать вычисляется как число размещений из 5 по 2.

Формула для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Количество способов выбрать бегунов на первый и последний этапы:

$A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = 5 \times 4 = 20$ способов.

Можно рассуждать и по-другому: на первый этап есть 5 кандидатов-девятиклассников. После того как один выбран, на последний этап остается 4 кандидата. По правилу произведения, общее число способов $5 \times 4 = 20$.

2. Выбор участников на оставшиеся этапы.

После того как два девятиклассника были выбраны на первый и последний этапы, нужно заполнить оставшиеся 4 этапа (со второго по пятый). Общее количество спортсменов в секции $11 + 5 = 16$. Так как двое уже выбраны, осталось $16 - 2 = 14$ спортсменов (11 десятиклассников и $5 - 2 = 3$ девятиклассника).

Из этих 14 спортсменов нужно выбрать 4 и расставить их по 4 оставшимся этапам. Число способов сделать это — это число размещений из 14 по 4:

$A_{14}^4 = \frac{14!}{(14-4)!} = \frac{14!}{10!} = 14 \times 13 \times 12 \times 11$.

Вычислим значение:

$14 \times 13 = 182$

$12 \times 11 = 132$

$A_{14}^4 = 182 \times 132 = 24024$ способа.

3. Общее количество способов.

Чтобы найти общее число способов сформировать команду, необходимо перемножить количество способов, найденных на каждом шаге (согласно правилу произведения):

Общее число способов = (способы для 1-го и 6-го этапов) × (способы для 2, 3, 4, 5-го этапов)

$N = A_5^2 \times A_{14}^4 = 20 \times 24024 = 480480$.

Ответ: 480480