Номер 124, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

124. На окружности отметили 29 точек. Каких многоугольников с вершинами в отмеченных точках больше: семнадцатиугольников или двенадцатиугольников?

Чтобы решить эту задачу, необходимо сравнить количество способов, которыми можно выбрать вершины для семнадцатиугольников и для двенадцатиугольников из 29 данных точек. Поскольку порядок выбора вершин не влияет на форму многоугольника, задача сводится к вычислению и сравнению числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ определяется формулой:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Сначала вычислим, сколько можно составить семнадцатиугольников. Для этого нужно выбрать 17 вершин из 29 точек. Таким образом, $n=29$ и $k=17$.
Количество семнадцатиугольников равно:
$C_{29}^{17} = \frac{29!}{17!(29-17)!} = \frac{29!}{17!12!}$

Теперь вычислим, сколько можно составить двенадцатиугольников. Для этого нужно выбрать 12 вершин из 29 точек. В этом случае, $n=29$ и $k=12$.
Количество двенадцатиугольников равно:
$C_{29}^{12} = \frac{29!}{12!(29-12)!} = \frac{29!}{12!17!}$

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что количество семнадцатиугольников и количество двенадцатиугольников равны, так как знаменатели дробей содержат одни и те же множители ($17!$ и $12!$):
$C_{29}^{17} = C_{29}^{12}$
Этот результат является следствием основного свойства сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$. В нашем случае $k=17$ и $n-k = 29-17 = 12$. Смысл этого свойства в том, что выбрать 17 точек для построения многоугольника — это то же самое, что выбрать 12 точек, которые не будут его вершинами. Количество способов сделать и тот, и другой выбор одинаково.

Ответ: Количество семнадцатиугольников и двенадцатиугольников одинаково.