Номер 131, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

131. Сколько существует способов выбрать из натуральных чисел от 1 до 25 семь чисел так, чтобы среди выбранных было не менее двух чётных чисел?

Для решения данной задачи воспользуемся методом от противного. Сначала найдем общее количество способов выбрать 7 чисел из 25, а затем вычтем из него количество "неподходящих" способов. "Неподходящие" способы — это те, при которых среди выбранных чисел менее двух четных, то есть ноль четных или одно четное число.

В диапазоне от 1 до 25 содержится:
- 12 четных чисел (2, 4, ..., 24)
- 13 нечетных чисел (1, 3, ..., 25)

1. Найдем общее число способов выбрать 7 чисел из 25.
Это число сочетаний из 25 по 7, которое вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
$N_{общ} = C_{25}^7 = \frac{25!}{7!(25-7)!} = \frac{25!}{7!18!} = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 480700$ способов.

2. Найдем количество "неподходящих" способов.
Это случаи, когда выбрано 0 четных чисел или 1 четное число.

а) Выбрано 0 четных и 7 нечетных чисел.
Число способов выбрать 0 четных из 12 равно $C_{12}^0 = 1$.
Число способов выбрать 7 нечетных из 13 равно $C_{13}^7 = \frac{13!}{7!(13-7)!} = \frac{13!}{7!6!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1716$.
Общее число способов для этого случая: $N_0 = C_{12}^0 \times C_{13}^7 = 1 \times 1716 = 1716$.

б) Выбрано 1 четное и 6 нечетных чисел.
Число способов выбрать 1 четное из 12 равно $C_{12}^1 = 12$.
Число способов выбрать 6 нечетных из 13 равно $C_{13}^6 = \frac{13!}{6!(13-6)!} = \frac{13!}{6!7!} = C_{13}^7 = 1716$.
Общее число способов для этого случая: $N_1 = C_{12}^1 \times C_{13}^6 = 12 \times 1716 = 20592$.

Суммарное количество "неподходящих" способов: $N_{неподх} = N_0 + N_1 = 1716 + 20592 = 22308$.

3. Найдем искомое количество способов.
Для этого вычтем из общего числа способов количество "неподходящих" способов.
$N = N_{общ} - N_{неподх} = 480700 - 22308 = 458392$.
Таким образом, существует 458 392 способа выбрать 7 чисел из 25 так, чтобы среди них было не менее двух четных.
Ответ: 458392.