gdz.top
Номер 134, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: бирюзовый
ISBN: 978-5-09-098610-6
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. Вариант 1. Бином Ньютона - номер 134, страница 28.
№133
№134 (с. 28)
Условие. №134 (с. 28)
134. Вычислите сумму $3^n + C_n^1 3^{n-1} + C_n^2 3^{n-2} + \dots + C_n^{n-1} 3 + 1$.
Решение. №134 (с. 28)
Данное выражение представляет собой разложение бинома Ньютона.
Формула бинома Ньютона для степени $n$ имеет вид:
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + ... + C_n^{n-1} a^1 b^{n-1} + C_n^n a^0 b^n$.
Рассмотрим заданную сумму:
$S = 3^n + C_n^1 3^{n-1} + C_n^2 3^{n-2} + ... + C_n^{n-1} 3 + 1$.
Мы можем переписать эту сумму, используя свойства биномиальных коэффициентов ($C_n^0 = 1$ и $C_n^n = 1$) и свойства степеней ($a^0=1$ и $1^k=1$).
Первый член: $3^n = 1 \cdot 3^n \cdot 1 = C_n^0 \cdot 3^n \cdot 1^0$.
Второй член: $C_n^1 3^{n-1} = C_n^1 \cdot 3^{n-1} \cdot 1^1$.
Третий член: $C_n^2 3^{n-2} = C_n^2 \cdot 3^{n-2} \cdot 1^2$.
...
Предпоследний член: $C_n^{n-1} 3 = C_n^{n-1} \cdot 3^1 = C_n^{n-1} \cdot 3^1 \cdot 1^{n-1}$.
Последний член: $1 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = C_n^n \cdot 3^0 \cdot 1^n$.
Таким образом, вся сумма может быть записана в виде:
$S = C_n^0 3^n 1^0 + C_n^1 3^{n-1} 1^1 + C_n^2 3^{n-2} 1^2 + ... + C_n^{n-1} 3^1 1^{n-1} + C_n^n 3^0 1^n$.
Это в точности соответствует формуле бинома Ньютона для $a = 3$ и $b = 1$:
$S = (3+1)^n$.
Вычисляем значение:
$S = 4^n$.
Ответ: $4^n$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 134 расположенного на странице 28 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №134 (с. 28), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.