gdz.top
Номер 139, страница 29 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: бирюзовый
ISBN: 978-5-09-098610-6
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. Вариант 1. Бином Ньютона - номер 139, страница 29.
№138
№139 (с. 29)
Условие. №139 (с. 29)
139. Докажите равенство:
$5^{60} - C_{60}^{1} 5^{59} 2^{1} + C_{60}^{2} 5^{58} 2^{2} - \dots - C_{60}^{59} 5^{1} 2^{59} + 2^{60} =$
$ = 10^{30} - C_{30}^{1} 10^{29} + C_{30}^{2} 10^{28} - \dots - C_{30}^{29} 10^{1} + 1.$
Решение. №139 (с. 29)
Для доказательства данного равенства воспользуемся формулой бинома Ньютона для разности: $(a-b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} (-b)^k$.
Рассмотрим левую часть равенства:
$5^{60} - C_{60}^1 5^{59} \cdot 2^1 + C_{60}^2 5^{58} \cdot 2^2 - \ldots - C_{60}^{59} 5^1 \cdot 2^{59} + 2^{60}$
Эта сумма в точности соответствует разложению выражения $(5-2)^{60}$ по формуле бинома Ньютона, где $a=5$, $b=2$ и $n=60$.
Следовательно, левая часть равна $(5-2)^{60} = 3^{60}$.
Теперь рассмотрим правую часть равенства:
$10^{30} - C_{30}^1 10^{29} + C_{30}^2 10^{28} - \ldots - C_{30}^{29} 10^1 + 1$
Эта сумма является разложением выражения $(10-1)^{30}$ по формуле бинома Ньютона, где $a=10$, $b=1$ и $n=30$.
Следовательно, правая часть равна $(10-1)^{30} = 9^{30}$.
Для завершения доказательства необходимо показать, что полученные значения левой и правой частей равны, то есть $3^{60} = 9^{30}$.
Преобразуем правую часть $9^{30}$, представив основание 9 в виде степени числа 3, то есть $9=3^2$:
$9^{30} = (3^2)^{30}$
По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ получаем:
$(3^2)^{30} = 3^{2 \cdot 30} = 3^{60}$
Таким образом, мы показали, что левая часть равна $3^{60}$ и правая часть равна $3^{60}$. Поскольку обе части равны одному и тому же значению, исходное равенство является верным, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано, так как обе его части сводятся к $3^{60}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 139 расположенного на странице 29 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №139 (с. 29), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.