Номер 146, страница 30 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

146. На экзамене по математике для усиления контроля класс из 35 учащихся рассадили в три аудитории. В первую посадили 10 учащихся, во вторую — 12, в третью — всех остальных. Какова вероятность того, что Петя Иванов и Ваня Петров окажутся в одной аудитории?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

1. Найдем количество учащихся в каждой аудитории.

По условию, всего в классе 35 учащихся. Их рассадили по трем аудиториям:

• В первой аудитории — 10 учащихся.
• Во второй аудитории — 12 учащихся.
• В третьей аудитории — все остальные. Найдем их количество: $35 - (10 + 12) = 35 - 22 = 13$ учащихся.

2. Найдем общее число всех возможных исходов.

Общее число исходов ($N$) — это количество способов выбрать 2 места из 35 для Пети Иванова и Вани Петрова. Так как порядок выбора учеников для занятия двух определенных мест не важен, используем формулу числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число способов выбрать 2 места из 35:

$N = C_{35}^2 = \frac{35!}{2!(35-2)!} = \frac{35 \times 34}{2 \times 1} = 595$.

Таким образом, существует 595 равновозможных вариантов размещения двух учеников.

3. Найдем число благоприятных исходов.

Благоприятный исход ($M$) — это событие, при котором Петя и Ваня оказываются в одной аудитории. Такое возможно в трех взаимоисключающих случаях:

• Оба ученика оказались в первой аудитории (где 10 мест).
• Оба ученика оказались во второй аудитории (где 12 мест).
• Оба ученика оказались в третьей аудитории (где 13 мест).

Вычислим число способов для каждого случая:

- Число способов выбрать 2 места из 10 в первой аудитории:

$m_1 = C_{10}^2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$.

- Число способов выбрать 2 места из 12 во второй аудитории:

$m_2 = C_{12}^2 = \frac{12 \times 11}{2} = 66$.

- Число способов выбрать 2 места из 13 в третьей аудитории:

$m_3 = C_{13}^2 = \frac{13 \times 12}{2} = 78$.

Так как эти случаи несовместны, общее число благоприятных исходов равно их сумме:

$M = m_1 + m_2 + m_3 = 45 + 66 + 78 = 189$.

4. Вычислим искомую вероятность.

Вероятность ($P$) того, что Петя и Ваня окажутся в одной аудитории, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{M}{N} = \frac{189}{595}$.

Сократим полученную дробь. Заметим, что и числитель, и знаменатель делятся на 7:

$189 \div 7 = 27$

$595 \div 7 = 85$

Таким образом, $P = \frac{27}{85}$.

Ответ: $\frac{27}{85}$.