Страница 30 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

144. Завод выпускает 32% продукции высшего сорта, 25% — первого сорта, 40% — второго сорта, а всё остальное — брак. Какова вероятность того, что наугад выбранное изделие не будет бракованным?

Чтобы найти вероятность того, что наугад выбранное изделие не будет бракованным, нужно сначала определить общую долю небракованной продукции. Небракованная продукция — это изделия высшего, первого и второго сортов.

Сложим процентные доли этих сортов:

1. Доля продукции высшего сорта: $32\%$

2. Доля продукции первого сорта: $25\%$

3. Доля продукции второго сорта: $40\%$

Общая доля небракованной продукции равна сумме этих долей:

$32\% + 25\% + 40\% = 97\%$

Вероятность события равна доле благоприятных исходов. В данном случае, благоприятный исход — это выбор небракованного изделия. Чтобы выразить эту долю в виде десятичной дроби, разделим процентное значение на 100:

$P = \frac{97}{100} = 0.97$

Ответ: 0.97

145. На соревнованиях по стрельбе стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,04, в девятку — 0,1, в восьмёрку — 0,2. Какова вероятность того, что одним выстрелом стрелок наберёт:

1) не менее 9 очков;

2) не менее 8 очков;

3) меньше 8 очков?

Обозначим события:
$A_{10}$ — попадание в десятку, с вероятностью $P(A_{10}) = 0,04$.
$A_9$ — попадание в девятку, с вероятностью $P(A_9) = 0,1$.
$A_8$ — попадание в восьмёрку, с вероятностью $P(A_8) = 0,2$.

Попадания в разные зоны (десятку, девятку, восьмёрку) являются несовместными событиями, так как одним выстрелом нельзя попасть в две разные зоны одновременно.

1) не менее 9 очков;

Событие «набрать не менее 9 очков» означает, что стрелок попадёт либо в девятку, либо в десятку. Вероятность этого события равна сумме вероятностей несовместных событий $A_9$ и $A_{10}$.
$P(\text{не менее 9 очков}) = P(A_9) + P(A_{10}) = 0,1 + 0,04 = 0,14$.
Ответ: 0,14.

2) не менее 8 очков;

Событие «набрать не менее 8 очков» означает, что стрелок попадёт либо в восьмёрку, либо в девятку, либо в десятку. Вероятность этого события равна сумме вероятностей несовместных событий $A_8$, $A_9$ и $A_{10}$.
$P(\text{не менее 8 очков}) = P(A_8) + P(A_9) + P(A_{10}) = 0,2 + 0,1 + 0,04 = 0,34$.
Ответ: 0,34.

3) меньше 8 очков?

Событие «набрать меньше 8 очков» является противоположным событию «набрать не менее 8 очков». Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1.
Вероятность события «набрать не менее 8 очков» мы уже нашли в предыдущем пункте, она равна 0,34.
Следовательно, вероятность набрать меньше 8 очков равна:
$P(\text{меньше 8 очков}) = 1 - P(\text{не менее 8 очков}) = 1 - 0,34 = 0,66$.
Ответ: 0,66.

146. На экзамене по математике для усиления контроля класс из 35 учащихся рассадили в три аудитории. В первую посадили 10 учащихся, во вторую — 12, в третью — всех остальных. Какова вероятность того, что Петя Иванов и Ваня Петров окажутся в одной аудитории?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

1. Найдем количество учащихся в каждой аудитории.

По условию, всего в классе 35 учащихся. Их рассадили по трем аудиториям:

• В первой аудитории — 10 учащихся.
• Во второй аудитории — 12 учащихся.
• В третьей аудитории — все остальные. Найдем их количество: $35 - (10 + 12) = 35 - 22 = 13$ учащихся.

2. Найдем общее число всех возможных исходов.

Общее число исходов ($N$) — это количество способов выбрать 2 места из 35 для Пети Иванова и Вани Петрова. Так как порядок выбора учеников для занятия двух определенных мест не важен, используем формулу числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число способов выбрать 2 места из 35:

$N = C_{35}^2 = \frac{35!}{2!(35-2)!} = \frac{35 \times 34}{2 \times 1} = 595$.

Таким образом, существует 595 равновозможных вариантов размещения двух учеников.

3. Найдем число благоприятных исходов.

Благоприятный исход ($M$) — это событие, при котором Петя и Ваня оказываются в одной аудитории. Такое возможно в трех взаимоисключающих случаях:

• Оба ученика оказались в первой аудитории (где 10 мест).
• Оба ученика оказались во второй аудитории (где 12 мест).
• Оба ученика оказались в третьей аудитории (где 13 мест).

Вычислим число способов для каждого случая:

- Число способов выбрать 2 места из 10 в первой аудитории:

$m_1 = C_{10}^2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$.

- Число способов выбрать 2 места из 12 во второй аудитории:

$m_2 = C_{12}^2 = \frac{12 \times 11}{2} = 66$.

- Число способов выбрать 2 места из 13 в третьей аудитории:

$m_3 = C_{13}^2 = \frac{13 \times 12}{2} = 78$.

Так как эти случаи несовместны, общее число благоприятных исходов равно их сумме:

$M = m_1 + m_2 + m_3 = 45 + 66 + 78 = 189$.

4. Вычислим искомую вероятность.

Вероятность ($P$) того, что Петя и Ваня окажутся в одной аудитории, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{M}{N} = \frac{189}{595}$.

Сократим полученную дробь. Заметим, что и числитель, и знаменатель делятся на 7:

$189 \div 7 = 27$

$595 \div 7 = 85$

Таким образом, $P = \frac{27}{85}$.

Ответ: $\frac{27}{85}$.

147. Ученик наугад называет натуральное число от 1 до 20 включительно. Событие $A$ состоит в том, что названное число больше 13. Событие $B$ состоит в том, что названное число кратно трём. Найдите вероятность события $A \cap B$.

По условию задачи, ученик наугад называет натуральное число от 1 до 20. Это значит, что общее число всех равновозможных исходов равно 20. Обозначим это число как $n=20$.

Событие $A$ состоит в том, что названное число больше 13. Этому событию благоприятствуют следующие исходы: {14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.

Событие $B$ состоит в том, что названное число кратно трём. Этому событию благоприятствуют следующие исходы: {3, 6, 9, 12, 15, 18}.

Нам необходимо найти вероятность события $A \cap B$. Это событие (пересечение событий $A$ и $B$) означает, что названное число удовлетворяет обоим условиям одновременно: оно должно быть больше 13 и кратно трём.

Для нахождения исходов, благоприятствующих событию $A \cap B$, найдём числа, которые есть в обоих списках. Это числа, которые больше 13 и делятся на 3. Из множества чисел, больших 13, а именно {14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}, выберем те, которые кратны трём. Такими числами являются 15 и 18.

Следовательно, количество исходов, благоприятствующих событию $A \cap B$, равно 2. Обозначим это число как $m=2$.

Вероятность события вычисляется по классической формуле вероятности как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:

$P(A \cap B) = \frac{m}{n}$

Подставим наши значения $m=2$ и $n=20$ в формулу:

$P(A \cap B) = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} = 0,1$

Ответ: 0,1

148. В каждой из двух колод лежит по три карточки с номерами 1, 2 и 3. Наугад выбирают по одной карточке из каждой колоды. Событие $A$ состоит в том, что сумма очков на выбранных карточках чётная; событие $B$ — в том, что по крайней мере одна из выбранных карточек имеет номер 1. Найдите вероятность события:

1) $\bar{A}$;

2) $A \cap B$;

3) $A \cup B$.

Для решения задачи определим пространство элементарных исходов. Так как из каждой из двух колод, содержащих по 3 карточки (1, 2, 3), вынимается по одной карточке, то каждый исход можно представить в виде упорядоченной пары $(x, y)$, где $x$ — номер карточки из первой колоды, а $y$ — номер карточки из второй.

Общее число всех возможных равновероятных исходов $N$ равно $3 \times 3 = 9$. Перечислим их все: $(1,1), (1,2), (1,3)$
$(2,1), (2,2), (2,3)$
$(3,1), (3,2), (3,3)$

Событие $A$ заключается в том, что сумма очков на карточках чётная. Сумма двух чисел чётна тогда и только тогда, когда оба числа имеют одинаковую чётность (оба чётные или оба нечётные). В наших колодах числа 1 и 3 — нечётные, а 2 — чётное.

Исходы, благоприятствующие событию $A$ (сумма чётная):
- Оба числа нечётные: $(1,1), (1,3), (3,1), (3,3)$.
- Оба числа чётные: $(2,2)$.
Всего благоприятствующих исходов для $A$ — 5. Таким образом, вероятность события $A$:
$P(A) = \frac{5}{9}$.

Событие $B$ заключается в том, что по крайней мере одна из карточек имеет номер 1.

Исходы, благоприятствующие событию $B$ (хотя бы одна '1'):
$(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (3,1)$.
Всего благоприятствующих исходов для $B$ — 5. Таким образом, вероятность события $B$:
$P(B) = \frac{5}{9}$.

1) $\bar{A}$

Событие $\bar{A}$ является противоположным событию $A$. Оно означает, что сумма очков на карточках нечётная. Вероятность противоположного события вычисляется по формуле $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
Поскольку $P(A) = \frac{5}{9}$, то вероятность события $\bar{A}$ равна:
$P(\bar{A}) = 1 - \frac{5}{9} = \frac{9-5}{9} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$

2) $A \cap B$

Событие $A \cap B$ (пересечение) означает, что события $A$ и $B$ происходят одновременно. То есть, сумма очков является чётной, и при этом хотя бы одна из карточек имеет номер 1.

Найдём исходы, которые удовлетворяют обоим условиям, выбрав их из множества исходов для события $B$:
- $(1,1)$: сумма $1+1=2$ (чётная). Подходит.
- $(1,2)$: сумма $1+2=3$ (нечётная). Не подходит.
- $(1,3)$: сумма $1+3=4$ (чётная). Подходит.
- $(2,1)$: сумма $2+1=3$ (нечётная). Не подходит.
- $(3,1)$: сумма $3+1=4$ (чётная). Подходит.
Таким образом, событию $A \cap B$ благоприятствуют 3 исхода: $(1,1), (1,3), (3,1)$.

Вероятность события $A \cap B$ равна:
$P(A \cap B) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

3) $A \cup B$

Событие $A \cup B$ (объединение) означает, что происходит хотя бы одно из событий $A$ или $B$. То есть, либо сумма очков чётная, либо хотя бы одна карточка — 1 (или и то, и другое).

Вероятность объединения событий можно найти по формуле сложения вероятностей:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
Мы уже нашли все необходимые значения:
$P(A) = \frac{5}{9}$
$P(B) = \frac{5}{9}$
$P(A \cap B) = \frac{3}{9}$

Подставляем значения в формулу:
$P(A \cup B) = \frac{5}{9} + \frac{5}{9} - \frac{3}{9} = \frac{5+5-3}{9} = \frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{7}{9}$

149. В школе работает две спортивные секции — волейбольная и баскетбольная. Вероятность встретить среди учащихся школы волейболиста равна 12%, баскетболиста — 17%, а ученика, посещающего обе секции, — 7%. Какова вероятность того, что выбранный наугад учащийся этой школы посещает хотя бы одну из указанных секций?

Для решения этой задачи используем формулу сложения вероятностей для совместных событий.

Пусть событие A заключается в том, что случайно выбранный учащийся посещает волейбольную секцию, а событие B — в том, что он посещает баскетбольную секцию.

По условию задачи нам даны следующие вероятности:
Вероятность встретить волейболиста: $P(A) = 12\% = 0.12$
Вероятность встретить баскетболиста: $P(B) = 17\% = 0.17$
Вероятность встретить ученика, посещающего обе секции (вероятность пересечения событий A и B): $P(A \cap B) = 7\% = 0.07$

Нам нужно найти вероятность того, что выбранный наугад учащийся посещает хотя бы одну из указанных секций. Это событие является объединением событий A и B ($A \cup B$). Вероятность объединения двух событий находится по формуле:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Подставим известные значения в эту формулу:
$P(A \cup B) = 0.12 + 0.17 - 0.07$
$P(A \cup B) = 0.29 - 0.07 = 0.22$

Чтобы выразить результат в процентах, умножим полученное значение на 100%:
$0.22 \cdot 100\% = 22\%$

Ответ: 22%.