Страница 32 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

160. Монету подбрасывают 8 раз. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпадет герб.

Для решения этой задачи удобнее найти вероятность противоположного события. Противоположное событие для «хотя бы раз выпадет герб» — это «ни разу не выпадет герб», то есть все 8 раз выпадет решка.

Обозначим событие $A$ как «хотя бы раз выпадет герб».
Обозначим противоположное событие $\bar{A}$ как «ни разу не выпадет герб» (все 8 раз выпала решка).

При одном подбрасывании монеты существует два равновероятных исхода: герб или решка. Вероятность выпадения решки в одном броске равна $1/2$.

Поскольку все 8 бросков являются независимыми событиями, вероятность того, что решка выпадет 8 раз подряд, вычисляется как произведение вероятностей этих событий:
$P(\bar{A}) = (1/2) \cdot (1/2) \cdot (1/2) \cdot (1/2) \cdot (1/2) \cdot (1/2) \cdot (1/2) \cdot (1/2) = (1/2)^8 = 1/256$

Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1:
$P(A) + P(\bar{A}) = 1$

Из этого соотношения мы можем найти искомую вероятность события $A$:
$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 1/256 = 256/256 - 1/256 = 255/256$

Ответ: $255/256$.

161. Два ученика независимо друг от друга решают одну задачу. Первый ученик может решить эту задачу с вероятностью 0,9, а второй — 0,7. Найдите вероятность того, что:

1) оба ученика решат задачу;

2) ни один из учеников не решит задачу;

3) хотя бы один из учеников решит задачу;

4) только один из учеников решит задачу.

Обозначим события:

A = {первый ученик решит задачу}

B = {второй ученик решит задачу}

По условию задачи, эти события являются независимыми. Их вероятности равны:

$P(A) = 0,9$

$P(B) = 0,7$

Также найдем вероятности противоположных событий (что ученик не решит задачу):

$\bar{A}$ = {первый ученик не решит задачу}

$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,9 = 0,1$

$\bar{B}$ = {второй ученик не решит задачу}

$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,7 = 0,3$

1) оба ученика решат задачу

Для того чтобы оба ученика решили задачу, должны произойти оба события A и B. Поскольку события независимы, вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей:

$P(A \text{ и } B) = P(A) \times P(B) = 0,9 \times 0,7 = 0,63$

Ответ: 0,63

2) ни один из учеников не решит задачу

Для того чтобы ни один из учеников не решил задачу, должны произойти оба противоположных события $\bar{A}$ и $\bar{B}$. Так как события A и B независимы, то и $\bar{A}$ и $\bar{B}$ также независимы. Вероятность этого равна произведению их вероятностей:

$P(\bar{A} \text{ и } \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0,1 \times 0,3 = 0,03$

Ответ: 0,03

3) хотя бы один из учеников решит задачу

Событие "хотя бы один решит" является противоположным событию "ни один не решит". Поэтому его вероятность можно найти, вычтя из единицы вероятность того, что никто не решит задачу (которую мы нашли в пункте 2):

$P(\text{хотя бы один решит}) = 1 - P(\text{ни один не решит}) = 1 - 0,03 = 0,97$

Альтернативный способ — использовать формулу сложения вероятностей для совместных событий:

$P(A \text{ или } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ и } B) = 0,9 + 0,7 - 0,63 = 1,6 - 0,63 = 0,97$

Ответ: 0,97

4) только один из учеников решит задачу

Это событие означает, что произойдет одно из двух несовместных (взаимоисключающих) событий: либо первый ученик решит задачу, а второй нет, либо первый не решит, а второй решит. Вероятность этого равна сумме вероятностей этих двух исходов.

Вероятность того, что первый решит, а второй нет:

$P(A \text{ и } \bar{B}) = P(A) \times P(\bar{B}) = 0,9 \times 0,3 = 0,27$

Вероятность того, что первый не решит, а второй решит:

$P(\bar{A} \text{ и } B) = P(\bar{A}) \times P(B) = 0,1 \times 0,7 = 0,07$

Суммарная вероятность:

$P(\text{только один решит}) = P(A \text{ и } \bar{B}) + P(\bar{A} \text{ и } B) = 0,27 + 0,07 = 0,34$

Ответ: 0,34

162. Семь стрелков одновременно независимо друг от друга стреляют в одну цель. Вероятность попадания каждого стрелка равна 0,8. Поражение цели происходит за одно попадание. Найдите вероятность поражения цели.

Для решения этой задачи воспользуемся методом от противного. Найдем вероятность события, противоположного поражению цели, то есть вероятность того, что цель не будет поражена. После этого вычтем полученную вероятность из единицы, чтобы найти искомую вероятность поражения цели.

Пусть событие $A$ заключается в том, что цель поражена. Это означает, что в цель попал хотя бы один из семи стрелков.

Противоположное событие, обозначим его $\bar{A}$, заключается в том, что цель не поражена. Это произойдет только в том случае, если все семь стрелков промахнутся.

Вероятность попадания для одного стрелка по условию равна $p = 0,8$.

Следовательно, вероятность промаха для одного стрелка равна:

$q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2$

Так как выстрелы всех семи стрелков являются независимыми событиями, вероятность того, что все семеро промахнутся, равна произведению вероятностей промаха каждого из них:

$P(\bar{A}) = q \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q = q^7 = (0,2)^7$

Вычислим это значение:

$(0,2)^7 = 0,0000128$

Таким образом, вероятность того, что цель не будет поражена, равна $0,0000128$.

Теперь найдем вероятность поражения цели (событие $A$). Вероятность события $A$ и противоположного ему события $\bar{A}$ в сумме дают 1:

$P(A) + P(\bar{A}) = 1$

Отсюда, вероятность поражения цели равна:

$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0,0000128 = 0,9999872$

Ответ: 0,9999872

163. По мишени стреляют 8 раз. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна $\frac{3}{5}$. Какова вероятность того, что при восьми выстрелах в мишень попадут 5 раз?

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая применяется для нахождения вероятности получения ровно $k$ успехов в серии из $n$ независимых испытаний. Формула имеет вид:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где:

• $n$ — общее число испытаний (выстрелов).
• $k$ — число желаемых успехов (попаданий).
• $p$ — вероятность успеха в одном испытании (вероятность попадания).
• $q$ — вероятность неудачи в одном испытании (вероятность промаха), $q = 1 - p$.
• $C_n^k$ — число сочетаний, которое показывает, сколькими способами можно выбрать $k$ успехов из $n$ испытаний. Рассчитывается как $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Исходя из условий задачи, определим значения переменных:

• $n = 8$ (всего выстрелов)
• $k = 5$ (требуемое число попаданий)
• $p = \frac{3}{5}$ (вероятность попадания)

Сначала найдем вероятность промаха $q$:

$q = 1 - p = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли:

$P_8(5) = C_8^5 \cdot (\frac{3}{5})^5 \cdot (\frac{2}{5})^{8-5} = C_8^5 \cdot (\frac{3}{5})^5 \cdot (\frac{2}{5})^3$

Проведем вычисления по шагам:

1. Вычисление числа сочетаний $C_8^5$

Это количество способов, которыми могут распределиться 5 попаданий среди 8 выстрелов.

$C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 8 \cdot 7 = 56$

2. Вычисление степеней вероятностей

Вероятность пяти попаданий подряд: $p^5 = (\frac{3}{5})^5 = \frac{3^5}{5^5} = \frac{243}{3125}$

Вероятность трех промахов подряд: $q^3 = (\frac{2}{5})^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}$

3. Расчет итоговой вероятности

Теперь объединим все полученные значения:

$P_8(5) = 56 \cdot \frac{243}{3125} \cdot \frac{8}{125} = \frac{56 \cdot 243 \cdot 8}{3125 \cdot 125} = \frac{108864}{390625}$

Ответ: $\frac{108864}{390625}$

164. Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что герб:

1) выпадет три раза;

2) не выпадет ни одного раза;

3) выпадет не более двух раз;

4) выпадет не менее трёх раз?

Для решения данной задачи используется формула Бернулли, которая позволяет найти вероятность наступления события A ровно $k$ раз в $n$ независимых испытаниях:$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$,где $n$ — общее число испытаний, $k$ — число наступления события, $p$ — вероятность наступления события в одном испытании, а $q = 1 - p$ — вероятность ненаступления события.

В нашем случае, число испытаний (подбрасываний монеты) $n = 10$. Событие, которое нас интересует, — выпадение герба. Вероятность выпадения герба в одном испытании $p = 1/2$, а вероятность невыпадения герба (выпадения решки) $q = 1 - 1/2 = 1/2$.

Общее число всех возможных исходов при 10 подбрасываниях монеты равно $2^{10} = 1024$. Формула Бернулли для данной задачи упрощается, так как $p=q=1/2$:$P_{10}(k) = C_{10}^k \cdot (1/2)^k \cdot (1/2)^{10-k} = C_{10}^k \cdot (1/2)^{10} = \frac{C_{10}^k}{1024}$,где $C_{10}^k = \frac{10!}{k!(10-k)!}$ — число сочетаний из 10 по $k$, то есть количество способов выбрать $k$ бросков, в которых выпадет герб.

1) выпадет три раза

Ищем вероятность того, что герб выпадет ровно $k=3$ раза. Сначала найдем число благоприятных исходов, то есть количество способов, которыми можно получить 3 герба в 10 бросках. Это число сочетаний $C_{10}^3$:$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$. Теперь найдем вероятность:$P_{10}(3) = \frac{C_{10}^3}{1024} = \frac{120}{1024}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:$P_{10}(3) = \frac{120 \div 8}{1024 \div 8} = \frac{15}{128}$. Ответ: $\frac{15}{128}$.

2) не выпадет ни одного раза

Ищем вероятность того, что герб выпадет ровно $k=0$ раз. Число благоприятных исходов равно $C_{10}^0$:$C_{10}^0 = \frac{10!}{0!(10-0)!} = \frac{10!}{1 \cdot 10!} = 1$. Вероятность этого события:$P_{10}(0) = \frac{C_{10}^0}{1024} = \frac{1}{1024}$. Ответ: $\frac{1}{1024}$.

3) выпадет не более двух раз

Событие "герб выпадет не более двух раз" означает, что он выпадет 0, 1 или 2 раза. Вероятность этого события равна сумме вероятностей каждого из этих исходов:$P(k \le 2) = P_{10}(0) + P_{10}(1) + P_{10}(2)$. Мы уже знаем, что $P_{10}(0) = \frac{1}{1024}$. Найдем $P_{10}(1)$ и $P_{10}(2)$:$C_{10}^1 = \frac{10!}{1!(10-1)!} = 10$, следовательно, $P_{10}(1) = \frac{10}{1024}$.$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$, следовательно, $P_{10}(2) = \frac{45}{1024}$. Суммируем вероятности:$P(k \le 2) = \frac{1}{1024} + \frac{10}{1024} + \frac{45}{1024} = \frac{1+10+45}{1024} = \frac{56}{1024}$. Сократим дробь на 8:$P(k \le 2) = \frac{56 \div 8}{1024 \div 8} = \frac{7}{128}$. Ответ: $\frac{7}{128}$.

4) выпадет не менее трёх раз

Событие "герб выпадет не менее трёх раз" является противоположным событию "герб выпадет менее трёх раз" (то есть 0, 1 или 2 раза). Вероятность противоположного события можно найти, вычтя из единицы вероятность исходного события. Вероятность того, что герб выпадет менее трёх раз, мы нашли в предыдущем пункте: $P(k < 3) = P(k \le 2) = \frac{56}{1024} = \frac{7}{128}$. Тогда искомая вероятность:$P(k \ge 3) = 1 - P(k \le 2) = 1 - \frac{56}{1024} = \frac{1024 - 56}{1024} = \frac{968}{1024}$. Сократим дробь на 8:$P(k \ge 3) = \frac{968 \div 8}{1024 \div 8} = \frac{121}{128}$. Ответ: $\frac{121}{128}$.

165. В ящике лежат 7 белых и 4 чёрных шара. Из ящика семь раз вынимают по одному шару и кладут назад перед следующим испытанием. Найдите вероятность того, что из семи вынутых шаров белый шар вынимали:

1) три раза;

2) меньше двух раз;

3) не менее трёх раз.

Данная задача представляет собой серию из $n=7$ независимых испытаний (схемa Бернулли), так как после каждого извлечения шар возвращается в ящик. Результатом каждого испытания может быть либо "успех" (вынут белый шар), либо "неудача" (вынут чёрный шар).

Определим основные параметры:

• Общее количество шаров в ящике: $7 \text{ белых} + 4 \text{ чёрных} = 11$ шаров.
• Вероятность "успеха" (вынуть белый шар) в одном испытании: $p = \frac{7}{11}$.
• Вероятность "неудачи" (вынуть чёрный шар) в одном испытании: $q = 1 - p = 1 - \frac{7}{11} = \frac{4}{11}$.
• Количество испытаний: $n=7$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие произойдет ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний.

1) три раза;

Требуется найти вероятность того, что белый шар был вынут ровно $k=3$ раза в $n=7$ испытаниях.

Воспользуемся формулой Бернулли:

$P_7(3) = C_7^3 \left(\frac{7}{11}\right)^3 \left(\frac{4}{11}\right)^{7-3} = C_7^3 \left(\frac{7}{11}\right)^3 \left(\frac{4}{11}\right)^4$.

Сначала вычислим число сочетаний:

$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.

Теперь подставим все значения в формулу:

$P_7(3) = 35 \cdot \frac{7^3}{11^3} \cdot \frac{4^4}{11^4} = \frac{35 \cdot 7^3 \cdot 4^4}{11^7} = \frac{35 \cdot 343 \cdot 256}{19487171} = \frac{3073280}{19487171}$.

Ответ: $P_7(3) = \frac{3073280}{19487171} \approx 0,1577$.

2) меньше двух раз;

Событие "белый шар вынимали меньше двух раз" означает, что его вынимали 0 раз ($k=0$) или 1 раз ($k=1$). Вероятность этого события равна сумме вероятностей $P_7(0)$ и $P_7(1)$.

$P(k<2) = P_7(0) + P_7(1)$.

Вычислим каждую вероятность отдельно:

$P_7(0) = C_7^0 \left(\frac{7}{11}\right)^0 \left(\frac{4}{11}\right)^7 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{4^7}{11^7} = \frac{16384}{19487171}$.

$P_7(1) = C_7^1 \left(\frac{7}{11}\right)^1 \left(\frac{4}{11}\right)^6 = 7 \cdot \frac{7}{11} \cdot \frac{4^6}{11^6} = \frac{49 \cdot 4^6}{11^7} = \frac{49 \cdot 4096}{19487171} = \frac{200704}{19487171}$.

Теперь сложим полученные вероятности:

$P(k<2) = \frac{16384}{19487171} + \frac{200704}{19487171} = \frac{217088}{19487171}$.

Ответ: $P(k<2) = \frac{217088}{19487171} \approx 0,0111$.

3) не менее трёх раз.

Событие "белый шар вынимали не менее трёх раз" ($k \ge 3$) является противоположным событию "белый шар вынимали меньше трёх раз" ($k < 3$). Вероятность можно найти по формуле: $P(k \ge 3) = 1 - P(k < 3)$.

Событие $k < 3$ означает, что белый шар вынимали 0, 1 или 2 раза. Таким образом, $P(k < 3) = P_7(0) + P_7(1) + P_7(2)$.

Вероятности $P_7(0)$ и $P_7(1)$ мы уже вычислили. Найдем $P_7(2)$:

$P_7(2) = C_7^2 \left(\frac{7}{11}\right)^2 \left(\frac{4}{11}\right)^5 = \frac{7 \cdot 6}{2} \cdot \frac{7^2 \cdot 4^5}{11^7} = 21 \cdot \frac{49 \cdot 1024}{11^7} = \frac{1053696}{19487171}$.

Теперь найдем вероятность $P(k < 3)$:

$P(k < 3) = P_7(0) + P_7(1) + P_7(2) = \frac{16384}{19487171} + \frac{200704}{19487171} + \frac{1053696}{19487171} = \frac{1270784}{19487171}$.

Искомая вероятность равна:

$P(k \ge 3) = 1 - P(k < 3) = 1 - \frac{1270784}{19487171} = \frac{19487171 - 1270784}{19487171} = \frac{18216387}{19487171}$.

Ответ: $P(k \ge 3) = \frac{18216387}{19487171} \approx 0,9348$.