Номер 163, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

163. По мишени стреляют 8 раз. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна $\frac{3}{5}$. Какова вероятность того, что при восьми выстрелах в мишень попадут 5 раз?

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая применяется для нахождения вероятности получения ровно $k$ успехов в серии из $n$ независимых испытаний. Формула имеет вид:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где:

• $n$ — общее число испытаний (выстрелов).
• $k$ — число желаемых успехов (попаданий).
• $p$ — вероятность успеха в одном испытании (вероятность попадания).
• $q$ — вероятность неудачи в одном испытании (вероятность промаха), $q = 1 - p$.
• $C_n^k$ — число сочетаний, которое показывает, сколькими способами можно выбрать $k$ успехов из $n$ испытаний. Рассчитывается как $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Исходя из условий задачи, определим значения переменных:

• $n = 8$ (всего выстрелов)
• $k = 5$ (требуемое число попаданий)
• $p = \frac{3}{5}$ (вероятность попадания)

Сначала найдем вероятность промаха $q$:

$q = 1 - p = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли:

$P_8(5) = C_8^5 \cdot (\frac{3}{5})^5 \cdot (\frac{2}{5})^{8-5} = C_8^5 \cdot (\frac{3}{5})^5 \cdot (\frac{2}{5})^3$

Проведем вычисления по шагам:

1. Вычисление числа сочетаний $C_8^5$

Это количество способов, которыми могут распределиться 5 попаданий среди 8 выстрелов.

$C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 8 \cdot 7 = 56$

2. Вычисление степеней вероятностей

Вероятность пяти попаданий подряд: $p^5 = (\frac{3}{5})^5 = \frac{3^5}{5^5} = \frac{243}{3125}$

Вероятность трех промахов подряд: $q^3 = (\frac{2}{5})^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}$

3. Расчет итоговой вероятности

Теперь объединим все полученные значения:

$P_8(5) = 56 \cdot \frac{243}{3125} \cdot \frac{8}{125} = \frac{56 \cdot 243 \cdot 8}{3125 \cdot 125} = \frac{108864}{390625}$

Ответ: $\frac{108864}{390625}$