Номер 158, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

158. Три стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в цель. Вероятность попадания первого стрелка составляет 0,7, второго — 0,8, третьего — 0,6. Какова вероятность того, что будет:

1) три попадания;

2) только одно попадание?

Для решения данной задачи по теории вероятностей, введем обозначения для основных событий и их вероятностей.

Пусть:

• $A_1$ — событие, означающее попадание первого стрелка;
• $A_2$ — событие, означающее попадание второго стрелка;
• $A_3$ — событие, означающее попадание третьего стрелка.

Вероятности этих событий даны в условии:

• $P(A_1) = 0,7$
• $P(A_2) = 0,8$
• $P(A_3) = 0,6$

Также нам понадобятся вероятности противоположных событий (промахов). Обозначим их $\overline{A_1}$, $\overline{A_2}$ и $\overline{A_3}$:

• Вероятность промаха первого стрелка: $P(\overline{A_1}) = 1 - P(A_1) = 1 - 0,7 = 0,3$
• Вероятность промаха второго стрелка: $P(\overline{A_2}) = 1 - P(A_2) = 1 - 0,8 = 0,2$
• Вероятность промаха третьего стрелка: $P(\overline{A_3}) = 1 - P(A_3) = 1 - 0,6 = 0,4$

Поскольку выстрелы независимы, вероятность совместного наступления нескольких событий равна произведению их вероятностей.

1) три попадания;

Это событие означает, что все три стрелка попали в цель. Вероятность этого события $P(A_{123})$ равна произведению вероятностей попадания каждого стрелка.

$P(A_{123}) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3)$

Подставляем значения:

$P(A_{123}) = 0,7 \cdot 0,8 \cdot 0,6 = 0,336$

Ответ: 0,336

2) только одно попадание?

Это событие может произойти тремя взаимоисключающими способами:

1. Попал только первый стрелок (второй и третий промахнулись).
2. Попал только второй стрелок (первый и третий промахнулись).
3. Попал только третий стрелок (первый и второй промахнулись).

Найдем вероятность каждого из этих случаев:

1. Вероятность того, что попадет только первый стрелок:

$P(B_1) = P(A_1) \cdot P(\overline{A_2}) \cdot P(\overline{A_3}) = 0,7 \cdot 0,2 \cdot 0,4 = 0,056$

2. Вероятность того, что попадет только второй стрелок:

$P(B_2) = P(\overline{A_1}) \cdot P(A_2) \cdot P(\overline{A_3}) = 0,3 \cdot 0,8 \cdot 0,4 = 0,096$

3. Вероятность того, что попадет только третий стрелок:

$P(B_3) = P(\overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_2}) \cdot P(A_3) = 0,3 \cdot 0,2 \cdot 0,6 = 0,036$

Общая вероятность того, что будет только одно попадание, равна сумме вероятностей этих трех несовместных событий:

$P(B) = P(B_1) + P(B_2) + P(B_3)$

$P(B) = 0,056 + 0,096 + 0,036 = 0,188$

Ответ: 0,188