Номер 165, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

165. В ящике лежат 7 белых и 4 чёрных шара. Из ящика семь раз вынимают по одному шару и кладут назад перед следующим испытанием. Найдите вероятность того, что из семи вынутых шаров белый шар вынимали:

1) три раза;

2) меньше двух раз;

3) не менее трёх раз.

Данная задача представляет собой серию из $n=7$ независимых испытаний (схемa Бернулли), так как после каждого извлечения шар возвращается в ящик. Результатом каждого испытания может быть либо "успех" (вынут белый шар), либо "неудача" (вынут чёрный шар).

Определим основные параметры:

• Общее количество шаров в ящике: $7 \text{ белых} + 4 \text{ чёрных} = 11$ шаров.
• Вероятность "успеха" (вынуть белый шар) в одном испытании: $p = \frac{7}{11}$.
• Вероятность "неудачи" (вынуть чёрный шар) в одном испытании: $q = 1 - p = 1 - \frac{7}{11} = \frac{4}{11}$.
• Количество испытаний: $n=7$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие произойдет ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний.

1) три раза;

Требуется найти вероятность того, что белый шар был вынут ровно $k=3$ раза в $n=7$ испытаниях.

Воспользуемся формулой Бернулли:

$P_7(3) = C_7^3 \left(\frac{7}{11}\right)^3 \left(\frac{4}{11}\right)^{7-3} = C_7^3 \left(\frac{7}{11}\right)^3 \left(\frac{4}{11}\right)^4$.

Сначала вычислим число сочетаний:

$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.

Теперь подставим все значения в формулу:

$P_7(3) = 35 \cdot \frac{7^3}{11^3} \cdot \frac{4^4}{11^4} = \frac{35 \cdot 7^3 \cdot 4^4}{11^7} = \frac{35 \cdot 343 \cdot 256}{19487171} = \frac{3073280}{19487171}$.

Ответ: $P_7(3) = \frac{3073280}{19487171} \approx 0,1577$.

2) меньше двух раз;

Событие "белый шар вынимали меньше двух раз" означает, что его вынимали 0 раз ($k=0$) или 1 раз ($k=1$). Вероятность этого события равна сумме вероятностей $P_7(0)$ и $P_7(1)$.

$P(k<2) = P_7(0) + P_7(1)$.

Вычислим каждую вероятность отдельно:

$P_7(0) = C_7^0 \left(\frac{7}{11}\right)^0 \left(\frac{4}{11}\right)^7 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{4^7}{11^7} = \frac{16384}{19487171}$.

$P_7(1) = C_7^1 \left(\frac{7}{11}\right)^1 \left(\frac{4}{11}\right)^6 = 7 \cdot \frac{7}{11} \cdot \frac{4^6}{11^6} = \frac{49 \cdot 4^6}{11^7} = \frac{49 \cdot 4096}{19487171} = \frac{200704}{19487171}$.

Теперь сложим полученные вероятности:

$P(k<2) = \frac{16384}{19487171} + \frac{200704}{19487171} = \frac{217088}{19487171}$.

Ответ: $P(k<2) = \frac{217088}{19487171} \approx 0,0111$.

3) не менее трёх раз.

Событие "белый шар вынимали не менее трёх раз" ($k \ge 3$) является противоположным событию "белый шар вынимали меньше трёх раз" ($k < 3$). Вероятность можно найти по формуле: $P(k \ge 3) = 1 - P(k < 3)$.

Событие $k < 3$ означает, что белый шар вынимали 0, 1 или 2 раза. Таким образом, $P(k < 3) = P_7(0) + P_7(1) + P_7(2)$.

Вероятности $P_7(0)$ и $P_7(1)$ мы уже вычислили. Найдем $P_7(2)$:

$P_7(2) = C_7^2 \left(\frac{7}{11}\right)^2 \left(\frac{4}{11}\right)^5 = \frac{7 \cdot 6}{2} \cdot \frac{7^2 \cdot 4^5}{11^7} = 21 \cdot \frac{49 \cdot 1024}{11^7} = \frac{1053696}{19487171}$.

Теперь найдем вероятность $P(k < 3)$:

$P(k < 3) = P_7(0) + P_7(1) + P_7(2) = \frac{16384}{19487171} + \frac{200704}{19487171} + \frac{1053696}{19487171} = \frac{1270784}{19487171}$.

Искомая вероятность равна:

$P(k \ge 3) = 1 - P(k < 3) = 1 - \frac{1270784}{19487171} = \frac{19487171 - 1270784}{19487171} = \frac{18216387}{19487171}$.

Ответ: $P(k \ge 3) = \frac{18216387}{19487171} \approx 0,9348$.