Номер 172, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

172. В коробке лежат 2 красных и 3 синих шара. Случайным образом из коробки один за другим вынимают по одному шару до тех пор, пока не будет вынут красный шар, и записывают, сколько раз пришлось вынимать шар. Составьте таблицу распределения вероятностей рассматриваемой случайной величины и вычислите её математическое ожидание.

Пусть $X$ — случайная величина, равная количеству вынутых шаров до появления первого красного шара. В коробке всего $2+3=5$ шаров.

Случайная величина $X$ может принимать следующие значения:

• $X=1$: первый вынутый шар — красный.
• $X=2$: первый шар — синий, второй — красный.
• $X=3$: первые два шара — синие, третий — красный.
• $X=4$: первые три шара — синие, четвертый — красный. Больше 4 шаров вынимать не придется, так как в коробке всего 3 синих шара, и после их извлечения в коробке останутся только красные шары.

Составление таблицы распределения вероятностей

Найдем вероятности для каждого возможного значения $X$.

1. Вероятность того, что первый вынутый шар будет красным ($X=1$):
Изначально в коробке 5 шаров, из них 2 красных. $P(X=1) = \frac{2}{5}$

2. Вероятность того, что первый шар синий, а второй — красный ($X=2$):
Вероятность вынуть первым синий шар: $\frac{3}{5}$.
После этого в коробке останется 4 шара, из них 2 красных.
Вероятность вынуть вторым красный шар (при условии, что первый был синий): $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Итоговая вероятность: $P(X=2) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

3. Вероятность того, что первые два шара синие, а третий — красный ($X=3$):
Вероятность вынуть первым синий шар: $\frac{3}{5}$.
Осталось 4 шара (2 красных, 2 синих). Вероятность вынуть вторым синий шар: $\frac{2}{4}$.
Осталось 3 шара (2 красных, 1 синий). Вероятность вынуть третьим красный шар: $\frac{2}{3}$.
Итоговая вероятность: $P(X=3) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$

4. Вероятность того, что первые три шара синие, а четвертый — красный ($X=4$):
Вероятность вынуть первым синий шар: $\frac{3}{5}$.
Осталось 4 шара (2 красных, 2 синих). Вероятность вынуть вторым синий шар: $\frac{2}{4}$.
Осталось 3 шара (2 красных, 1 синий). Вероятность вынуть третьим синий шар: $\frac{1}{3}$.
Осталось 2 шара (2 красных). Вероятность вынуть четвертым красный шар: $\frac{2}{2} = 1$.
Итоговая вероятность: $P(X=4) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}$

Проверим, что сумма вероятностей равна 1: $P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = \frac{2}{5} + \frac{3}{10} + \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{3}{10} + \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{10}{10} = 1$.

Теперь составим таблицу распределения вероятностей:

Ответ:

Вычисление математического ожидания

Математическое ожидание $E(X)$ случайной величины $X$ вычисляется по формуле: $E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$, где $x_i$ — значения случайной величины, а $p_i$ — соответствующие им вероятности.

$E(X) = 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3) + 4 \cdot P(X=4)$

$E(X) = 1 \cdot \frac{2}{5} + 2 \cdot \frac{3}{10} + 3 \cdot \frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{1}{10}$

$E(X) = \frac{2}{5} + \frac{6}{10} + \frac{3}{5} + \frac{4}{10}$

Приведем все дроби к общему знаменателю 10:

$E(X) = \frac{4}{10} + \frac{6}{10} + \frac{6}{10} + \frac{4}{10} = \frac{4+6+6+4}{10} = \frac{20}{10} = 2$

Ответ: $E(X) = 2$.