Номер 1, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Найдите значение выражения:

1) $6(\sqrt{3}+1)^2 : 6^2\sqrt{3};$

2) $7\sqrt{27} : 49\sqrt{3};$

3) $((\sqrt[3]{10})\sqrt{6})^{\sqrt{6}}.$

1)

Предположим, что данное выражение является степенным, так как это приводит к рациональному ответу, что типично для задач такого рода. Выражение выглядит так: $6^{(\sqrt{3}+1)^2} : 6^{2\sqrt{3}}$.

Сначала упростим показатель степени в первом члене, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sqrt{3}+1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$.

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$6^{4+2\sqrt{3}} : 6^{2\sqrt{3}}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$):

$6^{(4+2\sqrt{3}) - 2\sqrt{3}} = 6^{4+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}} = 6^4$.

Осталось вычислить значение $6^4$:

$6^4 = 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 36 = 1296$.

Ответ: 1296.

2)

Запишем исходное выражение $7\sqrt{27} : 49\sqrt{3}$ в виде дроби:

$\frac{7\sqrt{27}}{49\sqrt{3}}$

Упростим корень в числителе. Так как $27 = 9 \cdot 3$, то $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.

Подставим это значение в дробь:

$\frac{7 \cdot 3\sqrt{3}}{49\sqrt{3}} = \frac{21\sqrt{3}}{49\sqrt{3}}$

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{21}{49}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 7:

$\frac{21 \div 7}{49 \div 7} = \frac{3}{7}$

Ответ: $\frac{3}{7}$.

3)

Дано выражение $((\sqrt[3]{10})^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}}$.

Воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Применим его к выражению:

$((\sqrt[3]{10})^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}} = (\sqrt[3]{10})^{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}$

Упростим показатель степени:

$\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6$

Теперь выражение имеет вид:

$(\sqrt[3]{10})^6$

Представим корень в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[3]{10} = 10^{\frac{1}{3}}$.

Подставим это в выражение:

$(10^{\frac{1}{3}})^6$

Снова применяем свойство возведения степени в степень:

$10^{\frac{1}{3} \cdot 6} = 10^{\frac{6}{3}} = 10^2$

Вычислим результат:

$10^2 = 100$

Ответ: 100.