Номер 174, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

174. Стрелок попадает в мишень с вероятностью 90%. Составьте таблицу распределения вероятностей случайной величины, равной количеству попаданий стрелка в мишень в серии, состоящей из пяти выстрелов. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

Пусть $X$ — это случайная величина, равная количеству попаданий стрелка в мишень. Данная ситуация описывается схемой Бернулли, так как производится серия из $n=5$ независимых испытаний (выстрелов) с двумя исходами: "попадание" (успех) и "промах" (неудача).

Вероятность успеха в одном испытании (попадание) равна $p = 90\% = 0.9$.

Вероятность неудачи в одном испытании (промах) равна $q = 1 - p = 1 - 0.9 = 0.1$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

Случайная величина $X$ может принимать значения $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$. Рассчитаем вероятности для каждого из этих значений, используя формулу Бернулли для $n=5, p=0.9, q=0.1$:

• При $k=0$: $P(X=0) = C_5^0 \cdot (0.9)^0 \cdot (0.1)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.00001 = 0.00001$
• При $k=1$: $P(X=1) = C_5^1 \cdot (0.9)^1 \cdot (0.1)^4 = 5 \cdot 0.9 \cdot 0.0001 = 0.00045$
• При $k=2$: $P(X=2) = C_5^2 \cdot (0.9)^2 \cdot (0.1)^3 = 10 \cdot 0.81 \cdot 0.001 = 0.0081$
• При $k=3$: $P(X=3) = C_5^3 \cdot (0.9)^3 \cdot (0.1)^2 = 10 \cdot 0.729 \cdot 0.01 = 0.0729$
• При $k=4$: $P(X=4) = C_5^4 \cdot (0.9)^4 \cdot (0.1)^1 = 5 \cdot 0.6561 \cdot 0.1 = 0.32805$
• При $k=5$: $P(X=5) = C_5^5 \cdot (0.9)^5 \cdot (0.1)^0 = 1 \cdot 0.59049 \cdot 1 = 0.59049$

На основе этих расчетов составим таблицу распределения вероятностей:

Ответ: таблица распределения вероятностей составлена выше.

Математическое ожидание $E(X)$ случайной величины, распределенной по биномиальному закону, находится по формуле:

$E(X) = n \cdot p$

Подставим в формулу значения $n=5$ и $p=0.9$:

$E(X) = 5 \cdot 0.9 = 4.5$

Этот же результат можно получить, используя основное определение математического ожидания для дискретной случайной величины (сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности):

$E(X) = \sum_{k=0}^{5} k \cdot P(X=k) = (0 \cdot 0.00001) + (1 \cdot 0.00045) + (2 \cdot 0.0081) + (3 \cdot 0.0729) + (4 \cdot 0.32805) + (5 \cdot 0.59049) = 0 + 0.00045 + 0.0162 + 0.2187 + 1.3122 + 2.95245 = 4.5$

Ответ: $4.5$.