Номер 3, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Сравните значения выражений:

1) $4^{0,7}$ и $4^{\frac{2}{3}};

2) $(\frac{5}{9})^6$ и $(\frac{5}{9})^7;

3) $\pi^{\frac{1}{3}}$ и $1;

4) $1$ и $0,8^{-\sqrt{3}};

5) $(\sqrt{2})^{-3}$ и $(\sqrt{2})^{-4};

6) $(2-\sqrt{3})^3$ и $(2-\sqrt{3})^4.

1) Сравниваем $4^{0,7}$ и $4^{\frac{2}{3}}$.
Основание степени равно $4$, что больше 1. Показательная функция $y = 4^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента (показателя степени) соответствует большее значение функции.
Сравним показатели степеней: $0,7$ и $\frac{2}{3}$.
Представим $0,7$ в виде обыкновенной дроби: $0,7 = \frac{7}{10}$.
Приведем дроби $\frac{7}{10}$ и $\frac{2}{3}$ к общему знаменателю $30$:
$\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{21}{30}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{20}{30}$
Так как $\frac{21}{30} > \frac{20}{30}$, то $0,7 > \frac{2}{3}$.
Поскольку функция $y = 4^x$ возрастающая, из $0,7 > \frac{2}{3}$ следует, что $4^{0,7} > 4^{\frac{2}{3}}$.
Ответ: $4^{0,7} > 4^{\frac{2}{3}}$.

2) Сравниваем $(\frac{5}{9})^6$ и $(\frac{5}{9})^7$.
Основание степени равно $\frac{5}{9}$. Так как $0 < \frac{5}{9} < 1$, показательная функция $y = (\frac{5}{9})^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента (показателя степени) соответствует меньшее значение функции.
Сравним показатели степеней: $6$ и $7$.
Так как $7 > 6$, а функция убывающая, то $(\frac{5}{9})^7 < (\frac{5}{9})^6$.
Ответ: $(\frac{5}{9})^6 > (\frac{5}{9})^7$.

3) Сравниваем $\pi^{\frac{1}{3}}$ и $1$.
Основание степени равно $\pi$ (число пи), $\pi \approx 3,14$, что больше 1. Показательная функция $y = \pi^x$ является возрастающей.
Представим $1$ как степень с основанием $\pi$: $1 = \pi^0$.
Теперь задача сводится к сравнению $\pi^{\frac{1}{3}}$ и $\pi^0$.
Сравним показатели степеней: $\frac{1}{3}$ и $0$.
Так как $\frac{1}{3} > 0$, а функция возрастающая, то $\pi^{\frac{1}{3}} > \pi^0$.
Следовательно, $\pi^{\frac{1}{3}} > 1$.
Ответ: $\pi^{\frac{1}{3}} > 1$.

4) Сравниваем $1$ и $0,8^{-\sqrt{3}}$.
Основание степени равно $0,8$. Так как $0 < 0,8 < 1$, показательная функция $y = 0,8^x$ является убывающей.
Представим $1$ как степень с основанием $0,8$: $1 = 0,8^0$.
Теперь задача сводится к сравнению $0,8^0$ и $0,8^{-\sqrt{3}}$.
Сравним показатели степеней: $0$ и $-\sqrt{3}$.
Так как $\sqrt{3} > 0$, то $-\sqrt{3} < 0$.
Поскольку $0 > -\sqrt{3}$, а функция убывающая, то $0,8^0 < 0,8^{-\sqrt{3}}$.
Следовательно, $1 < 0,8^{-\sqrt{3}}$.
Ответ: $1 < 0,8^{-\sqrt{3}}$.

5) Сравниваем $(\sqrt{2})^{-3}$ и $(\sqrt{2})^{-4}$.
Основание степени равно $\sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1,41$, что больше 1, показательная функция $y = (\sqrt{2})^x$ является возрастающей.
Сравним показатели степеней: $-3$ и $-4$.
Так как $-3 > -4$, а функция возрастающая, то $(\sqrt{2})^{-3} > (\sqrt{2})^{-4}$.
Ответ: $(\sqrt{2})^{-3} > (\sqrt{2})^{-4}$.

6) Сравниваем $(2-\sqrt{3})^3$ и $(2-\sqrt{3})^4$.
Оценим основание степени $2-\sqrt{3}$.
Мы знаем, что $1 < 3 < 4$, следовательно $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$, то есть $1 < \sqrt{3} < 2$.
Из этого следует, что $2-2 < 2-\sqrt{3} < 2-1$, что дает $0 < 2-\sqrt{3} < 1$.
Так как основание степени $a = 2-\sqrt{3}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция $y = (2-\sqrt{3})^x$ является убывающей.
Сравним показатели степеней: $3$ и $4$.
Так как $4 > 3$, а функция убывающая, то $(2-\sqrt{3})^4 < (2-\sqrt{3})^3$.
Ответ: $(2-\sqrt{3})^3 > (2-\sqrt{3})^4$.