Номер 8, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

8. Постройте график функции:

1) $y = 3x - 3$;

2) $y = 3x + 2$;

3) $y = 2 - 3x$;

4) $y = |3x - 2|$.

1) $y = 3^x - 3$
Для построения графика функции $y = 3^x - 3$ воспользуемся методом преобразования графиков. В качестве основного графика возьмем график показательной функции $y = 3^x$.
1. Построим график базовой функции $y=3^x$. Это стандартная показательная функция, которая проходит через точки $(0, 1)$ (так как $3^0=1$) и $(1, 3)$ (так как $3^1=3$). Ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для этого графика при $x \to -\infty$.
2. График функции $y = 3^x - 3$ получается из графика $y = 3^x$ путем параллельного переноса на 3 единицы вниз вдоль оси ординат ($Oy$).
3. Каждая точка графика $y = 3^x$ смещается на 3 единицы вниз. Так, точка $(0, 1)$ переходит в точку $(0, 1-3) = (0, -2)$ — это точка пересечения с осью $Oy$. Точка $(1, 3)$ переходит в точку $(1, 3-3) = (1, 0)$ — это точка пересечения с осью $Ox$.
4. Горизонтальная асимптота $y=0$ также смещается на 3 единицы вниз, и новой асимптотой становится прямая $y=-3$.

Ответ: График функции $y = 3^x - 3$ является графиком функции $y=3^x$, сдвинутым на 3 единицы вниз. График пересекает оси координат в точках $(1, 0)$ и $(0, -2)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=-3$.

2) $y = 3^{x+2}$
Для построения графика функции $y = 3^{x+2}$ также используем преобразование базового графика $y = 3^x$.
1. Строим график функции $y = 3^x$, проходящий через точки $(0, 1)$ и $(1, 3)$, с горизонтальной асимптотой $y=0$.
2. График функции $y = 3^{x+2}$ получается из графика $y = 3^x$ путем параллельного переноса на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс ($Ox$).
3. Каждая точка графика $y = 3^x$ смещается на 2 единицы влево. Точка $(0, 1)$ переходит в точку $(0-2, 1) = (-2, 1)$. Точка $(1, 3)$ переходит в точку $(1-2, 3) = (-1, 3)$. Точка пересечения с осью $Oy$ находится при $x=0$: $y=3^{0+2}=3^2=9$. Таким образом, график пересекает ось $Oy$ в точке $(0, 9)$.
4. Горизонтальный сдвиг не влияет на горизонтальную асимптоту, поэтому она остается прежней: $y=0$.

Ответ: График функции $y = 3^{x+2}$ является графиком функции $y=3^x$, сдвинутым на 2 единицы влево. График пересекает ось $Oy$ в точке $(0, 9)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$.

3) $y = 2 - 3^x$
Для построения графика функции $y = 2 - 3^x$ (или $y = -3^x + 2$) выполним два последовательных преобразования графика $y = 3^x$.
1. Сначала построим график функции $y = -3^x$. Он получается из графика $y = 3^x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$). Если $y=3^x$ проходит через $(0, 1)$ и $(1, 3)$, то $y=-3^x$ будет проходить через $(0, -1)$ и $(1, -3)$. Асимптота $y=0$ сохраняется.
2. Затем построим график функции $y = -3^x + 2$. Он получается из графика $y = -3^x$ путем сдвига на 2 единицы вверх вдоль оси ординат ($Oy$).
3. Точка $(0, -1)$ переходит в точку $(0, -1+2) = (0, 1)$ — это точка пересечения с осью $Oy$. Точка $(1, -3)$ переходит в точку $(1, -3+2) = (1, -1)$.
4. Горизонтальная асимптота $y=0$ также сдвигается на 2 единицы вверх и становится прямой $y=2$.
5. Найдем точку пересечения с осью $Ox$, решив уравнение $y=0$: $2-3^x=0 \implies 3^x=2 \implies x=\log_3 2$. Таким образом, точка пересечения с осью $Ox$ — $(\log_3 2, 0)$.

Ответ: График функции $y = 2 - 3^x$ получается из графика $y=3^x$ путем его отражения относительно оси $Ox$ и последующего сдвига на 2 единицы вверх. График пересекает оси координат в точках $(\log_3 2, 0)$ и $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=2$.

4) $y = |3^x - 2|$
Для построения графика функции с модулем $y = |3^x - 2|$ нужно сначала построить график подмодульной функции $y = 3^x - 2$, а затем часть графика, расположенную ниже оси $Ox$, симметрично отразить относительно этой оси.
1. Строим график вспомогательной функции $y_1 = 3^x - 2$. Он получается из графика $y=3^x$ сдвигом на 2 единицы вниз.

• Горизонтальная асимптота смещается на 2 вниз и становится $y=-2$.
• Точка пересечения с осью $Oy$: при $x=0$, $y_1=3^0-2 = 1-2 = -1$. Точка $(0, -1)$.
• Точка пересечения с осью $Ox$: при $y_1=0$, $3^x-2=0 \implies 3^x=2 \implies x=\log_3 2$. Точка $(\log_3 2, 0)$.

2. Теперь применяем модуль: $y = |y_1| = |3^x - 2|$.

• Часть графика $y_1 = 3^x - 2$, где $y_1 \ge 0$ (то есть при $x \ge \log_3 2$), остается без изменений.
• Часть графика $y_1 = 3^x - 2$, где $y_1 < 0$ (то есть при $x < \log_3 2$), симметрично отражается относительно оси $Ox$.

3. В результате отражения:

• Точка $(0, -1)$ переходит в точку $(0, 1)$. Это новая точка пересечения с осью $Oy$.
• Горизонтальная асимптота $y=-2$ для левой части графика отражается в асимптоту $y=2$ (при $x \to -\infty$).
• Точка пересечения с осью $Ox$ $(\log_3 2, 0)$ является "точкой излома" графика.

Ответ: График функции $y = |3^x - 2|$ получается из графика $y=3^x-2$ путем отражения его части, лежащей ниже оси $Ox$, в верхнюю полуплоскость. График имеет "излом" в точке $(\log_3 2, 0)$, пересекает ось $Oy$ в точке $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=2$ при $x \to -\infty$.