Номер 13, страница 37 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

13. Решите уравнение:

1) $4^x + 6^x - 2 \cdot 9^x = 0;$

2) $125 \cdot 9^x - 120 \cdot 15^x + 27 \cdot 25^x = 0.$

1) $4^x + 6^x - 2 \cdot 9^x = 0$

Это показательное уравнение. Заметим, что основания степеней можно выразить через простые множители 2 и 3: $4 = 2^2$, $6 = 2 \cdot 3$, $9 = 3^2$.
Перепишем уравнение в новом виде:
$(2^2)^x + (2 \cdot 3)^x - 2 \cdot (3^2)^x = 0$
$2^{2x} + 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0$
Данное уравнение является однородным. Чтобы его решить, разделим все его члены на $9^x = 3^{2x}$. Так как $9^x > 0$ при любых значениях $x$, это преобразование является равносильным (не приводит к потере корней).
$\frac{2^{2x}}{3^{2x}} + \frac{2^x \cdot 3^x}{3^{2x}} - 2 \cdot \frac{3^{2x}}{3^{2x}} = 0$
$(\frac{2}{3})^{2x} + (\frac{2}{3})^x - 2 = 0$
Введем новую переменную. Пусть $t = (\frac{2}{3})^x$. Поскольку основание степени положительно, то $t > 0$.
Уравнение примет вид квадратного:
$t^2 + t - 2 = 0$
Решим это уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.
Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.
Рассмотрим корень $t_1 = 1$. Вернемся к исходной переменной:
$(\frac{2}{3})^x = 1$
Представим 1 как степень с основанием $\frac{2}{3}$:
$(\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^0$
Отсюда получаем, что $x = 0$.
Ответ: $0$.

2) $125 \cdot 9^x - 120 \cdot 15^x + 27 \cdot 25^x = 0$

Это также показательное уравнение. Выразим основания степеней через простые множители 3 и 5: $9 = 3^2$, $15 = 3 \cdot 5$, $25 = 5^2$.
Перепишем уравнение:
$125 \cdot (3^2)^x - 120 \cdot (3 \cdot 5)^x + 27 \cdot (5^2)^x = 0$
$125 \cdot 3^{2x} - 120 \cdot 3^x \cdot 5^x + 27 \cdot 5^{2x} = 0$
Это однородное показательное уравнение. Разделим все его члены на $25^x = 5^{2x}$ (поскольку $25^x > 0$ при любых $x$):
$125 \cdot \frac{3^{2x}}{5^{2x}} - 120 \cdot \frac{3^x \cdot 5^x}{5^{2x}} + 27 \cdot \frac{5^{2x}}{5^{2x}} = 0$
$125 \cdot (\frac{3}{5})^{2x} - 120 \cdot (\frac{3}{5})^x + 27 = 0$
Сделаем замену. Пусть $y = (\frac{3}{5})^x$. Условие для новой переменной: $y > 0$.
Получим квадратное уравнение:
$125y^2 - 120y + 27 = 0$
Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-120)^2 - 4 \cdot 125 \cdot 27 = 14400 - 500 \cdot 27 = 14400 - 13500 = 900 = 30^2$
Найдем корни:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{120 + 30}{2 \cdot 125} = \frac{150}{250} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{120 - 30}{2 \cdot 125} = \frac{90}{250} = \frac{9}{25}$
Оба корня положительны, значит, оба удовлетворяют условию $y > 0$.
Вернемся к замене для каждого корня.
1. Для $y_1 = \frac{3}{5}$:
$(\frac{3}{5})^x = \frac{3}{5}$
$(\frac{3}{5})^x = (\frac{3}{5})^1$
$x_1 = 1$
2. Для $y_2 = \frac{9}{25}$:
$(\frac{3}{5})^x = \frac{9}{25}$
$(\frac{3}{5})^x = (\frac{3}{5})^2$
$x_2 = 2$
Ответ: $1; 2$.