Номер 18, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

18. Решите неравенство:

1) $7^x < \frac{1}{49};$

2) $0,1^x > 0,001;$

3) $\left(\frac{3}{7}\right)^{x^2} \le \left(\frac{7}{3}\right)^{4x-21};$

4) $1,3^{\frac{x^2-9x-10}{x}} \ge 1;$

5) $4 \cdot 0,5^{x(x+3)} < 0,25^{2x};$

6) $0,3^{\frac{x^2-8}{x}} \ge 11\frac{1}{9};$

7) $0,4 \cdot 6,25^{\frac{1}{x}} \le 2,5^{x-2};$

8) $\left(\frac{\pi}{4}\right)^{1+\frac{4}{x+2}} \ge \left(\frac{\pi}{4}\right)^{\frac{9}{x+3}}.$

1) $7^x < \frac{1}{49}$
Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 7: $\frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = 7^{-2}$.
Получаем неравенство $7^x < 7^{-2}$.
Так как основание степени $7 > 1$, то показательная функция с таким основанием является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$x < -2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

2) $0,1^x > 0,001$
Представим обе части неравенства в виде степеней с основанием 0,1: $0,001 = (0,1)^3$.
Получаем неравенство $0,1^x > (0,1)^3$.
Так как основание степени $0,1 < 1$, то показательная функция с таким основанием является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$x < 3$.
Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

3) $(\frac{3}{7})^{x^2} \le (\frac{7}{3})^{4x-21}$
Приведем степени к одному основанию. Заметим, что $\frac{7}{3} = (\frac{3}{7})^{-1}$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{3}{7})^{x^2} \le ((\frac{3}{7})^{-1})^{4x-21}$.
$(\frac{3}{7})^{x^2} \le (\frac{3}{7})^{-(4x-21)}$
$(\frac{3}{7})^{x^2} \le (\frac{3}{7})^{21-4x}$
Так как основание степени $\frac{3}{7} < 1$, функция является убывающей, и при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 \ge 21-4x$
$x^2 + 4x - 21 \ge 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 4x - 21 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3, x_2 = -7$.
Графиком функции $y = x^2 + 4x - 21$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется при $x \le -7$ и $x \ge 3$.
Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup [3; +\infty)$.

4) $1,3^{\frac{x^2-9x-10}{x}} \ge 1$
Представим 1 как степень с основанием 1,3: $1 = 1,3^0$.
Неравенство принимает вид: $1,3^{\frac{x^2-9x-10}{x}} \ge 1,3^0$.
Так как основание $1,3 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства для показателей сохраняется. Также учтем, что знаменатель не может быть равен нулю ($x \ne 0$):
$\frac{x^2-9x-10}{x} \ge 0$
Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя: $x^2-9x-10=0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 10, x_2 = -1$.
Нуль знаменателя: $x=0$.
Отметим точки -1, 0, 10 на числовой оси (точки -1 и 10 закрашенные, точка 0 выколотая) и определим знаки выражения на получившихся интервалах.
Решением неравенства являются промежутки, где выражение неотрицательно.
Ответ: $x \in [-1; 0) \cup [10; +\infty)$.

5) $4 \cdot 0,5^{x(x+3)} < 0,25^{2x}$
Приведем все множители к степеням с основанием 2:
$4 = 2^2$, $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$, $0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$.
Неравенство принимает вид: $2^2 \cdot (2^{-1})^{x(x+3)} < (2^{-2})^{2x}$.
$2^2 \cdot 2^{-x^2-3x} < 2^{-4x}$
$2^{2 - x^2 - 3x} < 2^{-4x}$
Так как основание $2 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства для показателей сохраняется:
$2 - x^2 - 3x < -4x$
$-x^2 + x + 2 < 0$
Умножим на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - x - 2 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 2, x_2 = -1$.
Парабола $y = x^2 - x - 2$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

6) $0,3^{\frac{x^2-8}{x}} \ge 11\frac{1}{9}$
Приведем обе части к одному основанию:
$0,3 = \frac{3}{10}$.
$11\frac{1}{9} = \frac{100}{9} = (\frac{10}{3})^2 = ((\frac{3}{10})^{-1})^2 = (\frac{3}{10})^{-2}$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{3}{10})^{\frac{x^2-8}{x}} \ge (\frac{3}{10})^{-2}$.
Так как основание $\frac{3}{10} < 1$, функция убывающая, знак неравенства для показателей меняется на противоположный:
$\frac{x^2-8}{x} \le -2$.
Перенесем -2 в левую часть и приведем к общему знаменателю (при $x \ne 0$):
$\frac{x^2-8}{x} + 2 \le 0 \implies \frac{x^2-8+2x}{x} \le 0 \implies \frac{x^2+2x-8}{x} \le 0$.
Решим методом интервалов. Нули числителя $x^2+2x-8=0$: $x_1 = 2, x_2 = -4$.
Нуль знаменателя: $x=0$.
Отметим точки -4, 0, 2 на числовой оси и определим знаки. Выбираем интервалы со знаком "минус".
Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup (0; 2]$.

7) $0,4 \cdot 6,25^{\frac{1}{x}} \le 2,5^{x-2}$
Приведем все к основанию 2,5:
$2,5 = \frac{5}{2}$.
$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = (\frac{5}{2})^{-1}$.
$6,25 = \frac{625}{100} = \frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^2$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{5}{2})^{-1} \cdot ((\frac{5}{2})^2)^{\frac{1}{x}} \le (\frac{5}{2})^{x-2}$.
$(\frac{5}{2})^{-1 + \frac{2}{x}} \le (\frac{5}{2})^{x-2}$.
Так как основание $\frac{5}{2} > 1$, функция возрастающая, знак неравенства для показателей сохраняется:
$-1 + \frac{2}{x} \le x-2$.
Приведем к общему знаменателю (при $x \ne 0$):
$\frac{2}{x} - x + 1 \le 0 \implies \frac{2 - x^2 + x}{x} \le 0 \implies \frac{-(x^2-x-2)}{x} \le 0$.
Умножим на -1, изменив знак неравенства: $\frac{x^2-x-2}{x} \ge 0$.
Решим методом интервалов. Нули числителя $x^2-x-2=0$: $x_1=2, x_2=-1$.
Нуль знаменателя: $x=0$.
Отметим точки -1, 0, 2 на числовой оси и определим знаки. Выбираем интервалы со знаком "плюс".
Ответ: $x \in [-1; 0) \cup [2; +\infty)$.

8) $(\frac{\pi}{4})^{1+\frac{4}{x+2}} \ge (\frac{\pi}{4})^{\frac{9}{x+3}}$
Оценим основание степени: $\pi \approx 3,14$, поэтому $\frac{\pi}{4} \approx \frac{3,14}{4} < 1$.
Так как основание $0 < \frac{\pi}{4} < 1$, функция убывающая, знак неравенства для показателей меняется на противоположный:
$1+\frac{4}{x+2} \le \frac{9}{x+3}$.
Область допустимых значений: $x \ne -2$ и $x \ne -3$.
Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$1+\frac{4}{x+2} - \frac{9}{x+3} \le 0 \implies \frac{(x+2)(x+3) + 4(x+3) - 9(x+2)}{(x+2)(x+3)} \le 0$.
$\frac{x^2+5x+6 + 4x+12 - 9x-18}{(x+2)(x+3)} \le 0 \implies \frac{x^2}{(x+2)(x+3)} \le 0$.
Числитель $x^2$ всегда неотрицателен. Неравенство выполняется, если:
1) Числитель равен нулю: $x^2 = 0 \implies x=0$. Это является решением.
2) Числитель положителен ($x \ne 0$), а знаменатель отрицателен: $(x+2)(x+3) < 0$. Это выполняется на интервале $(-3; -2)$.
Объединяя оба случая, получаем решение.
Ответ: $x \in (-3; -2) \cup \{0\}$.