Номер 22, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

22. Решите неравенство:

1) $6 \cdot 25^x - 5 \cdot 10^x - 4^x \ge 0;$

2) $9 \cdot 4^{-\frac{1}{x}} + 5 \cdot 6^{-\frac{1}{x}} < 4 \cdot 9^{-\frac{1}{x}}.$

1) $6 \cdot 25^x - 5 \cdot 10^x - 4^x \ge 0$

Заметим, что $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$, $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ и $10^x = (5 \cdot 2)^x = 5^x \cdot 2^x$.
Перепишем неравенство в виде:

$6 \cdot (5^x)^2 - 5 \cdot 5^x \cdot 2^x - (2^x)^2 \ge 0$

Это однородное показательное неравенство. Поскольку $4^x = (2^x)^2$ всегда больше нуля ($4^x > 0$), мы можем разделить обе части неравенства на $4^x$, не меняя знака неравенства:

$6 \cdot \frac{(5^x)^2}{(2^x)^2} - 5 \cdot \frac{5^x \cdot 2^x}{(2^x)^2} - \frac{(2^x)^2}{(2^x)^2} \ge 0$

$6 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^x - 1 \ge 0$

Сделаем замену. Пусть $t = \left(\frac{5}{2}\right)^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

$6t^2 - 5t - 1 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $6t^2 - 5t - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Корни: $t_1 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$ и $t_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$.

Парабола $y = 6t^2 - 5t - 1$ ветвями вверх, поэтому неравенство $6t^2 - 5t - 1 \ge 0$ выполняется при $t \le -\frac{1}{6}$ или $t \ge 1$.
Учитывая условие $t > 0$, получаем единственное решение для $t$: $t \ge 1$.

Вернемся к исходной переменной:

$\left(\frac{5}{2}\right)^x \ge 1$

Представим 1 как степень с основанием $\frac{5}{2}$:

$\left(\frac{5}{2}\right)^x \ge \left(\frac{5}{2}\right)^0$

Так как основание степени $\frac{5}{2} > 1$, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

$x \ge 0$

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

2) $9 \cdot 4^{-\frac{1}{x}} + 5 \cdot 6^{-\frac{1}{x}} < 4 \cdot 9^{-\frac{1}{x}}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$.
Преобразуем основания степеней: $4 = 2^2, 9 = 3^2, 6 = 2 \cdot 3$.
$9 \cdot (2^2)^{-\frac{1}{x}} + 5 \cdot (2 \cdot 3)^{-\frac{1}{x}} < 4 \cdot (3^2)^{-\frac{1}{x}}$

$9 \cdot (2^{-\frac{1}{x}})^2 + 5 \cdot 2^{-\frac{1}{x}} \cdot 3^{-\frac{1}{x}} < 4 \cdot (3^{-\frac{1}{x}})^2$

Это также однородное неравенство. Разделим обе части на $9^{-\frac{1}{x}} = (3^{-\frac{1}{x}})^2 > 0$. Знак неравенства не изменится.

$9 \cdot \frac{(2^{-\frac{1}{x}})^2}{(3^{-\frac{1}{x}})^2} + 5 \cdot \frac{2^{-\frac{1}{x}} \cdot 3^{-\frac{1}{x}}}{(3^{-\frac{1}{x}})^2} < 4$

$9 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{2}{x}} + 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{x}} - 4 < 0$

Сделаем замену. Пусть $y = \left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{x}}$, где $y > 0$.

$9y^2 + 5y - 4 < 0$

Найдем корни уравнения $9y^2 + 5y - 4 = 0$.
Дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.
Корни: $y_1 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 9} = \frac{-18}{18} = -1$ и $y_2 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 9} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.

Парабола $f(y) = 9y^2 + 5y - 4$ ветвями вверх, поэтому неравенство $9y^2 + 5y - 4 < 0$ выполняется между корнями: $-1 < y < \frac{4}{9}$.

С учетом условия $y > 0$, получаем: $0 < y < \frac{4}{9}$.

Вернемся к замене:

$0 < \left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{x}} < \frac{4}{9}$

Левая часть неравенства $\left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{x}} > 0$ выполняется всегда. Решим правую часть:

$\left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{x}} < \frac{4}{9}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{x}} < \left(\frac{2}{3}\right)^2$

Так как основание степени $0 < \frac{2}{3} < 1$, то при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

$-\frac{1}{x} > 2$

Перенесем 2 в левую часть:

$-\frac{1}{x} - 2 > 0$

$\frac{-1 - 2x}{x} > 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{2x+1}{x} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов.
Корень числителя: $2x+1=0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$.
Корень знаменателя: $x=0$.
Наносим точки на числовую ось и определяем знаки на интервалах. Выражение отрицательно между корнями.

$-\frac{1}{2} < x < 0$

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ne 0$).

Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}, 0)$.