Номер 23, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

23. Найдите:

1) $\log_6 36$;

2) $\log_{17} \frac{1}{17}$;

3) $\log_{19} 1$;

4) $\log_5 5$;

5) $\log_2 0.125$;

6) $\log_{49} 7$;

7) $\lg 10000$;

8) $\log_9 27$;

9) $\log_{0.5} 32$.

1) $\log_{6}36;$

По определению логарифма, $\log_{b}a=x$ означает, что $b^x=a$. Нам нужно найти степень, в которую нужно возвести 6, чтобы получить 36.

Мы знаем, что $6^2 = 36$.

Следовательно, $\log_{6}36 = 2$.

Ответ: 2

2) $\log_{17}\frac{1}{17};$

Используем свойство степеней: $\frac{1}{a} = a^{-1}$. Таким образом, $\frac{1}{17} = 17^{-1}$.

Подставим это в логарифм: $\log_{17}17^{-1}$.

Используя основное свойство логарифма $\log_{a}a^x = x$, получаем:

$\log_{17}17^{-1} = -1$.

Ответ: -1

3) $\log_{19}1;$

Логарифм единицы по любому допустимому основанию ($b>0$, $b\neq1$) всегда равен нулю. Это следует из того, что любое число в нулевой степени равно единице: $19^0 = 1$.

Следовательно, $\log_{19}1 = 0$.

Ответ: 0

4) $\log_{5}5;$

Логарифм числа по основанию, равному этому же числу, всегда равен единице, так как $a^1=a$.

В данном случае $5^1 = 5$, поэтому $\log_{5}5 = 1$.

Ответ: 1

5) $\log_{2}0,125;$

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:

$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.

Теперь нужно найти $\log_{2}\frac{1}{8}$.

Представим $\frac{1}{8}$ как степень числа 2. Так как $8 = 2^3$, то $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.

Получаем: $\log_{2}2^{-3}$.

Используя свойство $\log_{a}a^x = x$, находим, что $\log_{2}2^{-3} = -3$.

Ответ: -3

6) $\log_{49}7;$

Обозначим $\log_{49}7 = x$. По определению логарифма, это означает, что $49^x = 7$.

Заметим, что $49 = 7^2$. Подставим это в уравнение:

$(7^2)^x = 7^1$.

По свойству степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $7^{2x} = 7^1$.

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $2x = 1$, откуда $x = \frac{1}{2} = 0,5$.

Ответ: 0,5

7) $\lg 10 000;$

Символ $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Таким образом, нам нужно найти $\log_{10}10 000$.

Представим 10 000 как степень числа 10: $10 000 = 10^4$.

Получаем: $\log_{10}10^4$.

Используя свойство $\log_{a}a^x = x$, находим, что $\log_{10}10^4 = 4$.

Ответ: 4

8) $\log_{9}27;$

Обозначим $\log_{9}27 = x$. Это означает, что $9^x = 27$.

Представим основание 9 и число 27 как степени одного и того же числа, в данном случае 3:

$9 = 3^2$

$27 = 3^3$

Подставим эти значения в уравнение: $(3^2)^x = 3^3$.

Используя свойство степеней, получаем: $3^{2x} = 3^3$.

Приравниваем показатели: $2x = 3$, откуда $x = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ответ: 1,5

9) $\log_{0,5}32.$

Обозначим $\log_{0,5}32 = x$. Это означает, что $(0,5)^x = 32$.

Представим основание 0,5 и число 32 как степени числа 2.

$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

$32 = 2^5$

Подставим эти значения в уравнение: $(2^{-1})^x = 2^5$.

Используя свойство степеней, получаем: $2^{-x} = 2^5$.

Приравниваем показатели степеней: $-x = 5$, откуда $x = -5$.

Ответ: -5