Номер 27, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

27. Найдите значение выражения:

1) $\left(\log_{14} 2 + \log_{14} 7 + 5^{\log_5 6}\right)^{\log_7 2}$;

2) $\frac{2\log_5 6 + \log_5 0,75}{\log_5 6 - \log_5 18}$.

1) $(\log_{14} 2 + \log_{14} 7 + 5^{\log_5 6})^{\log_7 2}$

Решим задачу по шагам, сначала упростив выражение в скобках.

Шаг 1: Упростим сумму логарифмов $\log_{14} 2 + \log_{14} 7$. Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:

$\log_{14} 2 + \log_{14} 7 = \log_{14} (2 \cdot 7) = \log_{14} 14$

По определению логарифма, $\log_a a = 1$, следовательно:

$\log_{14} 14 = 1$

Шаг 2: Упростим слагаемое $5^{\log_5 6}$. Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$5^{\log_5 6} = 6$

Шаг 3: Подставим полученные значения в выражение в скобках:

$(\log_{14} 2 + \log_{14} 7 + 5^{\log_5 6}) = (1 + 6) = 7$

Шаг 4: Теперь подставим результат обратно в исходное выражение:

$(7)^{\log_7 2}$

Шаг 5: Снова применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$7^{\log_7 2} = 2$

Ответ: 2

2) $\frac{2\log_5 6 + \log_5 0,75}{\log_5 6 - \log_5 18}$

Сначала упростим числитель, а затем знаменатель дроби.

Шаг 1: Упростим числитель $2\log_5 6 + \log_5 0,75$.

Применим свойство логарифма степени $n \log_a b = \log_a (b^n)$:

$2\log_5 6 = \log_5 (6^2) = \log_5 36$

Теперь числитель имеет вид $\log_5 36 + \log_5 0,75$. Применим свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:

$\log_5 36 + \log_5 0,75 = \log_5 (36 \cdot 0,75)$

Вычислим произведение: $36 \cdot 0,75 = 36 \cdot \frac{3}{4} = 27$.

Таким образом, числитель равен $\log_5 27$.

Шаг 2: Упростим знаменатель $\log_5 6 - \log_5 18$.

Применим свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$:

$\log_5 6 - \log_5 18 = \log_5 (\frac{6}{18}) = \log_5 (\frac{1}{3})$

Шаг 3: Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{\log_5 27}{\log_5 (\frac{1}{3})}$

Шаг 4: Для дальнейшего упрощения представим аргументы логарифмов в виде степеней числа 3. $27 = 3^3$ и $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

$\log_5 27 = \log_5 (3^3) = 3\log_5 3$

$\log_5 (\frac{1}{3}) = \log_5 (3^{-1}) = -1 \cdot \log_5 3 = -\log_5 3$

Подставим эти выражения в дробь:

$\frac{3\log_5 3}{-\log_5 3}$

Сократим общий множитель $\log_5 3$:

$\frac{3}{-1} = -3$

Ответ: -3