Номер 34, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

34. Сравните с единицей основание логарифма, если:

1) $\log_a 8,4 > \log_a 7,4;$

2) $\log_a 2,3 > \log_a 3,4.$

Для того чтобы сравнить основание логарифма $a$ с единицей, необходимо проанализировать поведение логарифмической функции $y = \log_a x$. Свойства этой функции зависят от значения её основания $a$ (при этом по определению $a > 0$ и $a \neq 1$).

• Если основание $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_2 > x_1$, то и $\log_a x_2 > \log_a x_1$. Знак неравенства при переходе от аргументов к логарифмам сохраняется.
• Если основание $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_2 > x_1$, то $\log_a x_2 < \log_a x_1$. Знак неравенства при переходе от аргументов к логарифмам меняется на противоположный.

Рассмотрим каждый случай.

1) $\log_a 8,4 > \log_a 7,4$

Сравним числа, стоящие под знаком логарифма (аргументы): $8,4$ и $7,4$.

Очевидно, что $8,4 > 7,4$.

Мы видим, что большему аргументу ($8,4$) соответствует большее значение логарифма ($\log_a 8,4$). Знак неравенства для аргументов ($>$) совпадает со знаком неравенства для логарифмов ($>$).

Это соответствует свойству возрастающей логарифмической функции, что выполняется при основании, большем единицы.

Ответ: $a > 1$.

2) $\log_a 2,3 > \log_a 3,4$

Сравним аргументы логарифмов: $2,3$ и $3,4$.

Очевидно, что $2,3 < 3,4$.

Мы видим, что большему аргументу ($3,4$) соответствует меньшее значение логарифма ($\log_a 3,4$). Знак неравенства для аргументов ($<$) противоположен знаку неравенства для логарифмов ($>$).

Это соответствует свойству убывающей логарифмической функции, что выполняется при основании, которое больше нуля, но меньше единицы.

Ответ: $0 < a < 1$.