Номер 33, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

33. Сравните с нулём:

1) $ \log_8 10; $

2) $ \log_{0.6} 0.4; $

3) $ \log_2 \frac{4}{9}; $

4) $ \log_{\frac{1}{3}} 11. $

Для сравнения значения логарифма $\log_a b$ с нулём, можно использовать следующее правило, основанное на свойствах логарифмической функции:

• Если основание $a > 1$, то логарифмическая функция $y=\log_a x$ возрастает. Это означает, что:
  • если аргумент $b > 1$, то $\log_a b > \log_a 1$, то есть $\log_a b > 0$.
  • если $0 < b < 1$, то $\log_a b < \log_a 1$, то есть $\log_a b < 0$.
• Если $0 < a < 1$, то логарифмическая функция $y=\log_a x$ убывает. Это означает, что:
  • если аргумент $b > 1$, то $\log_a b < \log_a 1$, то есть $\log_a b < 0$.
  • если $0 < b < 1$, то $\log_a b > \log_a 1$, то есть $\log_a b > 0$.

Проще говоря, знак логарифма положителен, если основание и число под логарифмом лежат по одну сторону от единицы (оба больше 1 или оба меньше 1). Знак отрицателен, если они лежат по разные стороны от единицы.

Основание логарифма $a = 8$. Так как $8 > 1$, функция $y = \log_8 x$ является возрастающей. Аргумент логарифма $b = 10$. Так как $10 > 1$, то значение логарифма будет больше нуля. Сравним с нулём, представив его как логарифм с тем же основанием: $0 = \log_8 1$. Поскольку функция возрастающая и $10 > 1$, то $\log_8 10 > \log_8 1$. Следовательно, $\log_8 10 > 0$.
Ответ: $\log_8 10 > 0$.

Основание логарифма $a = 0,6$. Так как $0 < 0,6 < 1$, функция $y = \log_{0,6} x$ является убывающей. Аргумент логарифма $b = 0,4$. Так как $0 < 0,4 < 1$, то основание и аргумент находятся по одну сторону от единицы, значит логарифм положителен. Сравним с нулём: $0 = \log_{0,6} 1$. Поскольку функция убывающая и $0,4 < 1$, то $\log_{0,6} 0,4 > \log_{0,6} 1$. Следовательно, $\log_{0,6} 0,4 > 0$.
Ответ: $\log_{0,6} 0,4 > 0$.

Основание логарифма $a = 2$. Так как $2 > 1$, функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Аргумент логарифма $b = \frac{4}{9}$. Так как $0 < \frac{4}{9} < 1$, то основание и аргумент находятся по разные стороны от единицы, значит логарифм отрицателен. Сравним с нулём: $0 = \log_2 1$. Поскольку функция возрастающая и $\frac{4}{9} < 1$, то $\log_2 \frac{4}{9} < \log_2 1$. Следовательно, $\log_2 \frac{4}{9} < 0$.
Ответ: $\log_2 \frac{4}{9} < 0$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ является убывающей. Аргумент логарифма $b = 11$. Так как $11 > 1$, то основание и аргумент находятся по разные стороны от единицы, значит логарифм отрицателен. Сравним с нулём: $0 = \log_{\frac{1}{3}} 1$. Поскольку функция убывающая и $11 > 1$, то $\log_{\frac{1}{3}} 11 < \log_{\frac{1}{3}} 1$. Следовательно, $\log_{\frac{1}{3}} 11 < 0$.
Ответ: $\log_{\frac{1}{3}} 11 < 0$.