Номер 39, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

39. Решите уравнение:

1) $\log_4 (3x + 1) = 2;$

2) $\log_{0,1} (x - 7) = -1;$

3) $\log_{\frac{1}{81}} (x^2 + 26x) = -0,75;$

4) $\log_4 \log_2 \log_{\sqrt{5}} x = \frac{1}{2};$

5) $\log_3 (3^x - 8) = 2 - x;$

6) $\log_x (2x^2 + 3x - 4) = 2.$

1) Исходное уравнение: $ \log_{4}(3x + 1) = 2 $.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$ 3x + 1 > 0 $
$ 3x > -1 $
$ x > -\frac{1}{3} $
Теперь решим уравнение, используя определение логарифма ($ \log_{a}b = c \Leftrightarrow a^c = b $):
$ 3x + 1 = 4^2 $
$ 3x + 1 = 16 $
$ 3x = 16 - 1 $
$ 3x = 15 $
$ x = \frac{15}{3} $
$ x = 5 $
Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $ 5 > -\frac{1}{3} $, корень подходит.
Ответ: 5

2) Исходное уравнение: $ \log_{0,1}(x - 7) = -1 $.
ОДЗ: $ x - 7 > 0 \Rightarrow x > 7 $.
По определению логарифма:
$ x - 7 = (0,1)^{-1} $
$ x - 7 = (\frac{1}{10})^{-1} $
$ x - 7 = 10 $
$ x = 10 + 7 $
$ x = 17 $
Проверяем корень по ОДЗ: $ 17 > 7 $. Корень подходит.
Ответ: 17

3) Исходное уравнение: $ \log_{\frac{1}{81}}(x^2 + 26x) = -0,75 $.
ОДЗ: $ x^2 + 26x > 0 \Rightarrow x(x + 26) > 0 $. Решая методом интервалов, получаем $ x \in (-\infty; -26) \cup (0; +\infty) $.
Преобразуем правую часть: $ -0,75 = -\frac{3}{4} $.
Решаем уравнение по определению логарифма:
$ x^2 + 26x = (\frac{1}{81})^{-\frac{3}{4}} $
$ x^2 + 26x = (81^{-1})^{-\frac{3}{4}} = 81^{\frac{3}{4}} $
$ x^2 + 26x = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^3 $
$ x^2 + 26x = 27 $
$ x^2 + 26x - 27 = 0 $
Решаем квадратное уравнение по теореме Виета:
$ x_1 + x_2 = -26 $
$ x_1 \cdot x_2 = -27 $
Отсюда $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -27 $.
Проверяем корни по ОДЗ:
$ x_1 = 1 $ принадлежит интервалу $ (0; +\infty) $, значит, является корнем.
$ x_2 = -27 $ принадлежит интервалу $ (-\infty; -26) $, значит, является корнем.
Ответ: -27; 1

4) Исходное уравнение: $ \log_{4}\log_{2}\log_{\sqrt{5}} x = \frac{1}{2} $.
Решаем уравнение последовательно, "раскрывая" логарифмы снаружи внутрь:
$ \log_{2}\log_{\sqrt{5}} x = 4^{\frac{1}{2}} $
$ \log_{2}\log_{\sqrt{5}} x = \sqrt{4} = 2 $
Теперь "раскрываем" следующий логарифм:
$ \log_{\sqrt{5}} x = 2^2 $
$ \log_{\sqrt{5}} x = 4 $
И последний логарифм:
$ x = (\sqrt{5})^4 $
$ x = (5^{\frac{1}{2}})^4 = 5^2 = 25 $
Проверим ОДЗ. Все аргументы логарифмов должны быть положительны:
1. $ x > 0 $
2. $ \log_{\sqrt{5}} x > 0 \Rightarrow x > (\sqrt{5})^0 \Rightarrow x > 1 $
3. $ \log_{2}\log_{\sqrt{5}} x > 0 \Rightarrow \log_{\sqrt{5}} x > 2^0 \Rightarrow \log_{\sqrt{5}} x > 1 \Rightarrow x > (\sqrt{5})^1 \Rightarrow x > \sqrt{5} $
Общее ОДЗ: $ x > \sqrt{5} $. Найденный корень $ x=25 $ удовлетворяет этому условию.
Ответ: 25

5) Исходное уравнение: $ \log_{3}(3^x - 8) = 2 - x $.
ОДЗ: $ 3^x - 8 > 0 \Rightarrow 3^x > 8 \Rightarrow x > \log_{3}8 $.
По определению логарифма:
$ 3^x - 8 = 3^{2-x} $
$ 3^x - 8 = \frac{3^2}{3^x} = \frac{9}{3^x} $
Сделаем замену переменной: пусть $ t = 3^x $. Так как $ 3^x > 0 $ для любого x, то $ t > 0 $.
$ t - 8 = \frac{9}{t} $
Умножим обе части на $ t $ (т.к. $ t \neq 0 $):
$ t^2 - 8t = 9 $
$ t^2 - 8t - 9 = 0 $
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета: $ t_1 = 9 $, $ t_2 = -1 $.
Корень $ t_2 = -1 $ не подходит, так как $ t > 0 $.
Возвращаемся к замене:
$ 3^x = 9 $
$ 3^x = 3^2 $
$ x = 2 $
Проверяем корень по ОДЗ. Нужно проверить, верно ли, что $ 2 > \log_{3}8 $. Это равносильно проверке $ 3^2 > 8 $, то есть $ 9 > 8 $. Неравенство верное, значит корень подходит.
Ответ: 2

6) Исходное уравнение: $ \log_{x}(2x^2 + 3x - 4) = 2 $.
ОДЗ для логарифма с переменным основанием:
1. Основание больше нуля: $ x > 0 $
2. Основание не равно единице: $ x \neq 1 $
3. Аргумент больше нуля: $ 2x^2 + 3x - 4 > 0 $
Решаем уравнение по определению логарифма:
$ 2x^2 + 3x - 4 = x^2 $
$ 2x^2 - x^2 + 3x - 4 = 0 $
$ x^2 + 3x - 4 = 0 $
Решаем квадратное уравнение по теореме Виета:
$ x_1 + x_2 = -3 $
$ x_1 \cdot x_2 = -4 $
Отсюда $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -4 $.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ:
- Корень $ x_1 = 1 $ не удовлетворяет условию $ x \neq 1 $.
- Корень $ x_2 = -4 $ не удовлетворяет условию $ x > 0 $.
Оба найденных значения не являются решениями уравнения, так как не входят в область допустимых значений.
Ответ: нет решений