Номер 44, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

44. Решите уравнение:

1) $\frac{2\log_7(-x)}{\log_7(-5-6x)} = 1;$

2) $\frac{\log_5(x^2 - 2x - 3) - 1}{\log_4(x - 3)} = 0.$

Решим уравнение $\frac{2\log_7(-x)}{\log_7(-5-6x)} = 1$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, а знаменатель дроби не должен равняться нулю.

$$ \begin{cases} -x > 0 \\ -5 - 6x > 0 \\ \log_7(-5 - 6x) \neq 0 \end{cases} $$

Решим эту систему:

1) $-x > 0 \implies x < 0$.

2) $-5 - 6x > 0 \implies -6x > 5 \implies x < -\frac{5}{6}$.

3) $\log_7(-5 - 6x) \neq 0 \implies -5 - 6x \neq 7^0 \implies -5 - 6x \neq 1 \implies -6x \neq 6 \implies x \neq -1$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, -\frac{5}{6})$.

Теперь перейдем к решению уравнения. Умножим обе части на знаменатель (в пределах ОДЗ он не равен нулю):

$2\log_7(-x) = \log_7(-5-6x)$

Используем свойство логарифма $n \log_a b = \log_a (b^n)$:

$\log_7((-x)^2) = \log_7(-5-6x)$

$\log_7(x^2) = \log_7(-5-6x)$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$x^2 = -5 - 6x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 6x + 5 = 0$

Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета:

Сумма корней $x_1 + x_2 = -6$.

Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 5$.

Отсюда получаем корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -5$.

Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, -\frac{5}{6})$.

Корень $x_1 = -1$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -5$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-5 < -\frac{5}{6}$ и $-5 \neq -1$.

Ответ: -5

Решим уравнение $\frac{\log_5(x^2 - 2x - 3) - 1}{\log_4(x - 3)} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Также необходимо, чтобы все логарифмические выражения были определены (их аргументы должны быть положительными). Это приводит к следующей системе условий:

$$ \begin{cases} \log_5(x^2 - 2x - 3) - 1 = 0 \\ \log_4(x - 3) \neq 0 \\ x^2 - 2x - 3 > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} $$

1. Сначала решим уравнение из первой строки системы:

$\log_5(x^2 - 2x - 3) - 1 = 0$

$\log_5(x^2 - 2x - 3) = 1$

По определению логарифма, это эквивалентно:

$x^2 - 2x - 3 = 5^1$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения по теореме Виета:

Сумма корней $x_1 + x_2 = 2$.

Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -8$.

Отсюда получаем корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

2. Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни остальным условиям системы.

Проверка для корня $x_1 = 4$:

Подставим $x=4$ в условие $\log_4(x - 3) \neq 0$:

$\log_4(4 - 3) = \log_4(1) = 0$.

Это условие не выполняется, так как знаменатель обращается в ноль. Значит, $x = 4$ не является решением.

Проверка для корня $x_2 = -2$:

Подставим $x=-2$ в условие $x - 3 > 0$:

$-2 - 3 = -5$.

Неравенство $-5 > 0$ является ложным. Значит, при $x=-2$ логарифм в знаменателе не определен. Следовательно, $x = -2$ также не является решением.

Поскольку ни один из найденных потенциальных корней не удовлетворяет всем необходимым условиям, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет