Номер 47, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

47. Каждому неравенству, записанному в левом столбце, поставьте в соответствие изображение его множества решений из правого столбца.

Неравенства

А) $\log_{0,2} x \ge 1$

Б) $\log_{0,2} x \le 1$

В) $\log_{0,2} x \ge -1$

Г) $\log_{0,2} x \le -1$

Изображения множеств решений

1) Числовая прямая, на которой точка 0,2 обозначена, и штриховка идет от 0,2 вправо.

2) Числовая прямая, на которой точка 0 обозначена открытым кругом, точка 5 обозначена закрашенным кругом, и штриховка идет между 0 и 5.

3) Числовая прямая, на которой точка 5 обозначена, и штриховка идет от 5 вправо.

4) Числовая прямая, на которой точка 0 обозначена открытым кругом, точка 0,2 обозначена закрашенным кругом, и штриховка идет между 0 и 0,2.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

A

Б

В

Г

Для решения задачи необходимо решить каждое логарифмическое неравенство и сопоставить полученное множество решений с предложенными изображениями.

Во-первых, определим область допустимых значений (ОДЗ) для всех неравенств. Аргумент логарифма должен быть строго положительным, следовательно, для всех случаев $x > 0$.

Во-вторых, обратим внимание на основание логарифма $a = 0,2$. Так как $0 < 0,2 < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{0,2} x$ является убывающей. Это означает, что при переходе от неравенства для логарифмов к неравенству для их аргументов знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 0,2: $1 = \log_{0,2} (0,2^1) = \log_{0,2} 0,2$.

Неравенство принимает вид: $ \log_{0,2} x \ge \log_{0,2} 0,2 $.

Поскольку логарифмическая функция с основанием 0,2 является убывающей, переходим к неравенству для аргументов, меняя знак на противоположный: $ x \le 0,2 $.

С учетом ОДЗ ($ x > 0 $), получаем итоговое решение: $ 0 < x \le 0,2 $.

Это множество решений соответствует изображению под номером 4.

Ответ: 4

Аналогично пункту А, представим правую часть: $1 = \log_{0,2} 0,2$.

Неравенство принимает вид: $ \log_{0,2} x \le \log_{0,2} 0,2 $.

Меняем знак неравенства при переходе к аргументам: $ x \ge 0,2 $.

ОДЗ ($ x > 0 $) выполняется. Решение: $ x \ge 0,2 $.

Это множество решений соответствует изображению под номером 1.

Ответ: 1

Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0,2: $-1 = \log_{0,2} (0,2^{-1}) = \log_{0,2} (\frac{1}{0,2}) = \log_{0,2} 5$.

Неравенство принимает вид: $ \log_{0,2} x \ge \log_{0,2} 5 $.

Меняем знак неравенства: $ x \le 5 $.

С учетом ОДЗ ($ x > 0 $), получаем решение: $ 0 < x \le 5 $.

Это множество решений соответствует изображению под номером 2.

Ответ: 2

Аналогично пункту В, представим правую часть: $-1 = \log_{0,2} 5$.

Неравенство принимает вид: $ \log_{0,2} x \le \log_{0,2} 5 $.

Меняем знак неравенства: $ x \ge 5 $.

ОДЗ ($ x > 0 $) выполняется. Решение: $ x \ge 5 $.

Это множество решений соответствует изображению под номером 3.

Ответ: 3

Теперь заполним таблицу, сопоставив буквы неравенств с номерами соответствующих им изображений.