Номер 46, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

46. При каких значениях b уравнение $2\lg(x + 1) = \lg bx$ имеет единственный корень?

Для решения данного уравнения необходимо сначала определить его область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x+1 > 0 \\ bx > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x > -1$. Второе неравенство $bx > 0$ зависит от знака параметра $b$. Заметим, что $b \ne 0$, иначе логарифм $\lg(bx)$ не определен.

Рассмотрим два случая:

1. Если $b > 0$, то из $bx > 0$ следует $x > 0$. Объединяя с условием $x > -1$, получаем ОДЗ: $x > 0$.
2. Если $b < 0$, то из $bx > 0$ следует $x < 0$. Объединяя с условием $x > -1$, получаем ОДЗ: $-1 < x < 0$.

Теперь преобразуем исходное уравнение, используя свойство логарифма $n \log_a M = \log_a M^n$:

$2\lg(x + 1) = \lg(bx)$

$\lg((x + 1)^2) = \lg(bx)$

Так как основания логарифмов одинаковы, можем приравнять их аргументы:

$(x + 1)^2 = bx$

$x^2 + 2x + 1 = bx$

$x^2 + (2 - b)x + 1 = 0$

Задача сводится к тому, чтобы найти такие значения $b$, при которых полученное квадратное уравнение имеет ровно один корень, удовлетворяющий соответствующей ОДЗ.

Случай 1: $b > 0$

В этом случае ОДЗ: $x > 0$. Нам нужно, чтобы квадратное уравнение $x^2 + (2 - b)x + 1 = 0$ имело ровно один положительный корень.

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = (2 - b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4b + b^2 - 4 = b^2 - 4b = b(b-4)$

Действительные корни существуют при $D \ge 0$. Так как $b > 0$, это неравенство сводится к $b-4 \ge 0$, то есть $b \ge 4$.

• При $b = 4$, дискриминант $D = 0$. Уравнение имеет единственный корень: $x = -\frac{2-b}{2} = -\frac{2-4}{2} = 1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 > 0$), значит, $b=4$ является решением.
• При $b > 4$, дискриминант $D > 0$, и уравнение имеет два различных действительных корня. Согласно теореме Виета, их произведение $x_1 x_2 = 1 > 0$, а их сумма $x_1 + x_2 = -(2-b) = b-2$. Так как $b > 4$, то $b-2 > 2 > 0$. Поскольку и сумма, и произведение корней положительны, оба корня положительны и, следовательно, удовлетворяют ОДЗ. В этом случае исходное уравнение имеет два корня.
• При $0 < b < 4$, дискриминант $D < 0$, и действительных корней нет.

Таким образом, в случае $b > 0$ единственное решение существует только при $b=4$.

Случай 2: $b < 0$

В этом случае ОДЗ: $-1 < x < 0$. Нам нужно, чтобы квадратное уравнение $x^2 + (2 - b)x + 1 = 0$ имело ровно один корень в интервале $(-1, 0)$.

Дискриминант $D = b(b-4)$. Так как $b < 0$, то $b-4$ также отрицательно. Следовательно, $D > 0$ для всех $b < 0$. Это означает, что при $b < 0$ квадратное уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

По теореме Виета, произведение корней $x_1 x_2 = 1 > 0$, значит, корни имеют одинаковый знак. Сумма корней $x_1 + x_2 = b-2$. Так как $b < 0$, сумма $b-2 < -2$, то есть отрицательна. Следовательно, оба корня отрицательны.

Теперь выясним, сколько из этих отрицательных корней попадает в интервал $(-1, 0)$. Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 + (2 - b)x + 1$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем значения функции на концах интервала $(-1, 0)$:

$f(0) = 0^2 + (2 - b) \cdot 0 + 1 = 1$

$f(-1) = (-1)^2 + (2 - b)(-1) + 1 = 1 - 2 + b + 1 = b$

Поскольку $b < 0$, то $f(-1) < 0$. Так как на концах отрезка $[-1, 0]$ функция принимает значения разных знаков ($f(-1) < 0$ и $f(0) > 0$), то внутри интервала $(-1, 0)$ находится ровно один корень. Второй корень, так как он тоже отрицателен, должен быть меньше $-1$.

Таким образом, для любого значения $b < 0$ исходное уравнение имеет ровно один корень, удовлетворяющий ОДЗ.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, приходим к выводу, что уравнение имеет единственный корень при $b < 0$ и при $b=4$.

Ответ: $b \in (-\infty, 0) \cup \{4\}$