Номер 48, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

48. Решите неравенство:

1) $log_{17} x > log_{17} 6;$

2) $lg x < lg 7;$

3) $log_{\frac{3}{11}} x > log_{\frac{3}{11}} 2;$

4) $log_{0,7} x < log_{0,7} \frac{1}{3};$

5) $log_2 x > 4;$

6) $log_9 x < 2;$

7) $log_{0,1} x \le -3;$

8) $log_{\frac{1}{16}} x > \frac{1}{4};$

9) $log_4(x+6) > 3;$

10) $log_9(2x-1) \le \frac{1}{2};$

11) $log_{0,6}(7x+8) < log_{0,6}(2-5x);$

12) $log_5(5x-1) > log_5(2-3x);$

13) $log_2(2x-4) < log_2(x^2-3x+2);$

14) $2lg(-x) \ge lg(x+6);$

15) $log_8(x^2-4x+3) \le 1;$

16) $log_{0,6}(2x^2-9x+4) \ge 2log_{0,6}(x+2).$

1) $\log_{17} x > \log_{17} 6$

Так как основание логарифма $17 > 1$, функция $y=\log_{17}x$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Из неравенства следует: $x > 6$.
Пересекая решение с ОДЗ ($x > 0$ и $x > 6$), получаем $x > 6$.
Ответ: $x \in (6; +\infty)$.

2) $\lg x < \lg 7$

Основание десятичного логарифма $10 > 1$, функция $y=\lg x$ является возрастающей. Знак неравенства сохраняется.
ОДЗ: $x > 0$.
Из неравенства следует: $x < 7$.
Пересекая решение с ОДЗ ($x > 0$ и $x < 7$), получаем $0 < x < 7$.
Ответ: $x \in (0; 7)$.

3) $\log_{\frac{3}{11}} x > \log_{\frac{3}{11}} 2$

Так как основание логарифма $0 < \frac{3}{11} < 1$, функция $y=\log_{\frac{3}{11}}x$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный.
ОДЗ: $x > 0$.
Из неравенства следует: $x < 2$.
Пересекая решение с ОДЗ ($x > 0$ и $x < 2$), получаем $0 < x < 2$.
Ответ: $x \in (0; 2)$.

4) $\log_{0,7} x < \log_{0,7} \frac{1}{3}$

Так как основание логарифма $0 < 0,7 < 1$, функция $y=\log_{0,7}x$ является убывающей. Знак неравенства меняется на противоположный.
ОДЗ: $x > 0$.
Из неравенства следует: $x > \frac{1}{3}$.
Пересекая решение с ОДЗ ($x > 0$ и $x > \frac{1}{3}$), получаем $x > \frac{1}{3}$.
Ответ: $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$.

5) $\log_2 x > 4$

Представим правую часть в виде логарифма с основанием 2: $4 = \log_2 2^4 = \log_2 16$.
Неравенство принимает вид: $\log_2 x > \log_2 16$.
Так как основание $2 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.
ОДЗ: $x > 0$.
Из неравенства следует: $x > 16$.
Пересекая решение с ОДЗ ($x > 0$ и $x > 16$), получаем $x > 16$.
Ответ: $x \in (16; +\infty)$.

6) $\log_9 x < 2$

Представим правую часть в виде логарифма с основанием 9: $2 = \log_9 9^2 = \log_9 81$.
Неравенство принимает вид: $\log_9 x < \log_9 81$.
Так как основание $9 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.
ОДЗ: $x > 0$.
Из неравенства следует: $x < 81$.
Пересекая решение с ОДЗ ($x > 0$ и $x < 81$), получаем $0 < x < 81$.
Ответ: $x \in (0; 81)$.

7) $\log_{0,1} x \le -3$

Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0,1: $-3 = \log_{0,1} (0,1)^{-3} = \log_{0,1} 1000$.
Неравенство принимает вид: $\log_{0,1} x \le \log_{0,1} 1000$.
Так как основание $0 < 0,1 < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный.
ОДЗ: $x > 0$.
Из неравенства следует: $x \ge 1000$.
Пересекая решение с ОДЗ ($x > 0$ и $x \ge 1000$), получаем $x \ge 1000$.
Ответ: $x \in [1000; +\infty)$.

8) $\log_{\frac{1}{16}} x > \frac{1}{4}$

Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{16}$: $\frac{1}{4} = \log_{\frac{1}{16}} (\frac{1}{16})^{\frac{1}{4}} = \log_{\frac{1}{16}} ( (2^{-4})^\frac{1}{4} ) = \log_{\frac{1}{16}} (2^{-1}) = \log_{\frac{1}{16}} \frac{1}{2}$.
Неравенство принимает вид: $\log_{\frac{1}{16}} x > \log_{\frac{1}{16}} \frac{1}{2}$.
Так как основание $0 < \frac{1}{16} < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный.
ОДЗ: $x > 0$.
Из неравенства следует: $x < \frac{1}{2}$.
Пересекая решение с ОДЗ ($x > 0$ и $x < \frac{1}{2}$), получаем $0 < x < \frac{1}{2}$.
Ответ: $x \in (0; \frac{1}{2})$.

9) $\log_4(x+6) > 3$

Представим правую часть в виде логарифма с основанием 4: $3 = \log_4 4^3 = \log_4 64$.
Неравенство принимает вид: $\log_4(x+6) > \log_4 64$.
Так как основание $4 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.
ОДЗ: $x+6 > 0 \implies x > -6$.
Из неравенства следует: $x+6 > 64 \implies x > 58$.
Пересекая решение с ОДЗ ($x > -6$ и $x > 58$), получаем $x > 58$.
Ответ: $x \in (58; +\infty)$.

10) $\log_9(2x-1) \le \frac{1}{2}$

Представим правую часть в виде логарифма с основанием 9: $\frac{1}{2} = \log_9 9^{\frac{1}{2}} = \log_9 3$.
Неравенство принимает вид: $\log_9(2x-1) \le \log_9 3$.
Так как основание $9 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.
ОДЗ: $2x-1 > 0 \implies x > \frac{1}{2}$.
Из неравенства следует: $2x-1 \le 3 \implies 2x \le 4 \implies x \le 2$.
Пересекая решение с ОДЗ ($x > \frac{1}{2}$ и $x \le 2$), получаем $\frac{1}{2} < x \le 2$.
Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; 2]$.

11) $\log_{0,6}(7x+8) < \log_{0,6}(2-5x)$

Так как основание $0 < 0,6 < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный.
Найдем ОДЗ, решив систему неравенств:
$\begin{cases} 7x+8 > 0 \\ 2-5x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -\frac{8}{7} \\ x < \frac{2}{5} \end{cases} \implies x \in (-\frac{8}{7}; \frac{2}{5})$.
Решаем неравенство для аргументов: $7x+8 > 2-5x \implies 12x > -6 \implies x > -\frac{1}{2}$.
Найдем пересечение решения $x > -\frac{1}{2}$ и ОДЗ $x \in (-\frac{8}{7}; \frac{2}{5})$. Получаем $-\frac{1}{2} < x < \frac{2}{5}$.
Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}; \frac{2}{5})$.

12) $\log_5(5x-1) > \log_5(2-3x)$

Так как основание $5 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 5x-1 > 0 \\ 2-3x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{1}{5} \\ x < \frac{2}{3} \end{cases} \implies x \in (\frac{1}{5}; \frac{2}{3})$.
Решаем неравенство для аргументов: $5x-1 > 2-3x \implies 8x > 3 \implies x > \frac{3}{8}$.
Найдем пересечение решения $x > \frac{3}{8}$ и ОДЗ $x \in (\frac{1}{5}; \frac{2}{3})$. Сравнивая дроби $\frac{1}{5}=0,2$, $\frac{3}{8}=0,375$, $\frac{2}{3}\approx 0,67$, получаем $\frac{3}{8} < x < \frac{2}{3}$.
Ответ: $x \in (\frac{3}{8}; \frac{2}{3})$.

13) $\log_2(2x-4) < \log_2(x^2-3x+2)$

Так как основание $2 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 2x-4 > 0 \\ x^2-3x+2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ (x-1)(x-2) > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty) \end{cases} \implies x \in (2; +\infty)$.
Решаем неравенство для аргументов: $2x-4 < x^2-3x+2 \implies x^2-5x+6 > 0 \implies (x-2)(x-3) > 0 \implies x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$.
Найдем пересечение решения $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$ и ОДЗ $x > 2$. Получаем $x > 3$.
Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

14) $2\lg(-x) \ge \lg(x+6)$

Преобразуем левую часть: $2\lg(-x) = \lg((-x)^2) = \lg(x^2)$. Неравенство примет вид $\lg(x^2) \ge \lg(x+6)$.
Так как основание $10 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} -x > 0 \\ x+6 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0 \\ x > -6 \end{cases} \implies x \in (-6; 0)$.
Решаем неравенство для аргументов: $x^2 \ge x+6 \implies x^2-x-6 \ge 0 \implies (x-3)(x+2) \ge 0 \implies x \in (-\infty; -2] \cup [3; +\infty)$.
Найдем пересечение решения $x \in (-\infty; -2] \cup [3; +\infty)$ и ОДЗ $x \in (-6; 0)$. Получаем $-6 < x \le -2$.
Ответ: $x \in (-6; -2]$.

15) $\log_8(x^2-4x+3) \le 1$

Представим 1 как логарифм: $1 = \log_8 8$. Неравенство примет вид $\log_8(x^2-4x+3) \le \log_8 8$.
Так как основание $8 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.
Найдем ОДЗ: $x^2-4x+3 > 0 \implies (x-1)(x-3) > 0 \implies x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.
Решаем неравенство для аргументов: $x^2-4x+3 \le 8 \implies x^2-4x-5 \le 0 \implies (x-5)(x+1) \le 0 \implies x \in [-1; 5]$.
Найдем пересечение решения $x \in [-1; 5]$ и ОДЗ $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$. Получаем $x \in [-1; 1) \cup (3; 5]$.
Ответ: $x \in [-1; 1) \cup (3; 5]$.

16) $\log_{0,6}(2x^2-9x+4) \ge 2\log_{0,6}(x+2)$

Преобразуем правую часть: $2\log_{0,6}(x+2) = \log_{0,6}((x+2)^2)$.
Неравенство примет вид $\log_{0,6}(2x^2-9x+4) \ge \log_{0,6}((x+2)^2)$.
Так как основание $0 < 0,6 < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 2x^2-9x+4 > 0 \\ x+2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} (2x-1)(x-4) > 0 \\ x > -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (4; +\infty) \\ x > -2 \end{cases} \implies x \in (-2; \frac{1}{2}) \cup (4; +\infty)$.
Решаем неравенство для аргументов: $2x^2-9x+4 \le (x+2)^2 \implies 2x^2-9x+4 \le x^2+4x+4 \implies x^2-13x \le 0 \implies x(x-13) \le 0 \implies x \in [0; 13]$.
Найдем пересечение решения $x \in [0; 13]$ и ОДЗ $x \in (-2; \frac{1}{2}) \cup (4; +\infty)$. Получаем $x \in [0; \frac{1}{2}) \cup (4; 13]$.
Ответ: $x \in [0; \frac{1}{2}) \cup (4; 13]$.