Номер 41, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

41. Решите уравнение:

1) $ \log_2(2x - 1) + \log_2(x - 4) = 2; $

2) $ \log_6(x - 3) = 1 - \log_6(x + 2); $

3) $ \lg x + \lg (x + 1) = \lg (10 - 6x) - \lg 2; $

4) $ \log_{\sqrt{5}}(4x - 6) - \log_{\sqrt{5}}(2x - 2) = 2; $

5) $ \log_6(x - 2) + 2\log_{36}(x - 11) = 2; $

6) $ \log_3(x - 5) - \log_3 2 - \frac{1}{2}\log_3(3x - 20) = 0; $

7) $ \lg(2x - 3)^2 - 2\lg(3x - 2) = 2. $

1) $ \log_2(2x - 1) + \log_2(x - 4) = 2 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ x - 4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ x > 4 \end{cases} $
Следовательно, ОДЗ: $ x \in (4; +\infty) $.

Используем свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $:
$ \log_2((2x - 1)(x - 4)) = 2 $

По определению логарифма $ \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b $:
$ (2x - 1)(x - 4) = 2^2 $
$ 2x^2 - 8x - x + 4 = 4 $
$ 2x^2 - 9x = 0 $
$ x(2x - 9) = 0 $

Получаем два корня:
$ x_1 = 0 $
$ 2x_2 - 9 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{9}{2} = 4.5 $

Проверяем корни по ОДЗ ($ x > 4 $):
$ x_1 = 0 $ не удовлетворяет ОДЗ.
$ x_2 = 4.5 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 4.5 $

2) $ \log_6(x - 3) = 1 - \log_6(x + 2) $

Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x - 3 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 3 \\ x > -2 \end{cases} $
Следовательно, ОДЗ: $ x \in (3; +\infty) $.

Перенесем логарифм в левую часть и воспользуемся свойством суммы логарифмов:
$ \log_6(x - 3) + \log_6(x + 2) = 1 $
$ \log_6((x - 3)(x + 2)) = 1 $

По определению логарифма:
$ (x - 3)(x + 2) = 6^1 $
$ x^2 + 2x - 3x - 6 = 6 $
$ x^2 - x - 12 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$ x_1 = 4 $
$ x_2 = -3 $

Проверяем корни по ОДЗ ($ x > 3 $):
$ x_1 = 4 $ удовлетворяет ОДЗ.
$ x_2 = -3 $ не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 4 $

3) $ \lg x + \lg(x + 1) = \lg(10 - 6x) - \lg 2 $

Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 0 \\ x + 1 > 0 \\ 10 - 6x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > -1 \\ 6x < 10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x < \frac{5}{3} \end{cases} $
Следовательно, ОДЗ: $ x \in (0; \frac{5}{3}) $.

Используем свойства логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $ и $ \log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c}) $:
$ \lg(x(x + 1)) = \lg(\frac{10 - 6x}{2}) $

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$ x(x + 1) = \frac{10 - 6x}{2} $
$ x^2 + x = 5 - 3x $
$ x^2 + 4x - 5 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$ x_1 = 1 $
$ x_2 = -5 $

Проверяем корни по ОДЗ ($ 0 < x < \frac{5}{3} $):
$ x_1 = 1 $ удовлетворяет ОДЗ.
$ x_2 = -5 $ не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 1 $

4) $ \log_{\sqrt{5}}(4^x - 6) - \log_{\sqrt{5}}(2^x - 2) = 2 $

Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} 4^x - 6 > 0 \\ 2^x - 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (2^x)^2 > 6 \\ 2^x > 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2^x > \sqrt{6} \\ x > 1 \end{cases} $
Так как $ \sqrt{6} > 2 $, более строгим является условие $ 2^x > \sqrt{6} $.

Используем свойство разности логарифмов:
$ \log_{\sqrt{5}}\left(\frac{4^x - 6}{2^x - 2}\right) = 2 $

По определению логарифма:
$ \frac{4^x - 6}{2^x - 2} = (\sqrt{5})^2 $
$ \frac{4^x - 6}{2^x - 2} = 5 $

Сделаем замену $ t = 2^x $, где $ t > \sqrt{6} $ согласно ОДЗ.
$ \frac{t^2 - 6}{t - 2} = 5 $
$ t^2 - 6 = 5(t - 2) $
$ t^2 - 6 = 5t - 10 $
$ t^2 - 5t + 4 = 0 $

По теореме Виета:
$ t_1 = 4 $
$ t_2 = 1 $

Проверяем корни по условию $ t > \sqrt{6} $ (где $ \sqrt{6} \approx 2.45 $):
$ t_1 = 4 $ удовлетворяет условию.
$ t_2 = 1 $ не удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для $ t = 4 $:
$ 2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x = 2 $

Ответ: $ 2 $

5) $ \log_6(x - 2) + 2\log_{36}(x - 11) = 2 $

Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ x - 11 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x > 11 \end{cases} $
Следовательно, ОДЗ: $ x \in (11; +\infty) $.

Приведем второй логарифм к основанию 6, используя формулу $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b $:
$ \log_{36}(x - 11) = \log_{6^2}(x - 11) = \frac{1}{2}\log_6(x - 11) $

Подставим в уравнение:
$ \log_6(x - 2) + 2 \cdot \frac{1}{2}\log_6(x - 11) = 2 $
$ \log_6(x - 2) + \log_6(x - 11) = 2 $

Используем свойство суммы логарифмов:
$ \log_6((x - 2)(x - 11)) = 2 $

По определению логарифма:
$ (x - 2)(x - 11) = 6^2 $
$ x^2 - 11x - 2x + 22 = 36 $
$ x^2 - 13x - 14 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$ x_1 = 14 $
$ x_2 = -1 $

Проверяем корни по ОДЗ ($ x > 11 $):
$ x_1 = 14 $ удовлетворяет ОДЗ.
$ x_2 = -1 $ не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 14 $

6) $ \log_3(x - 5) - \log_3 2 - \frac{1}{2}\log_3(3x - 20) = 0 $

Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x - 5 > 0 \\ 3x - 20 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 5 \\ x > \frac{20}{3} \end{cases} $
Так как $ \frac{20}{3} \approx 6.67 $, ОДЗ: $ x \in (\frac{20}{3}; +\infty) $.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:
$ \log_3(x - 5) = \log_3 2 + \frac{1}{2}\log_3(3x - 20) $
$ \log_3(x - 5) = \log_3 2 + \log_3\sqrt{3x - 20} $
$ \log_3(x - 5) = \log_3(2\sqrt{3x - 20}) $

Приравниваем аргументы:
$ x - 5 = 2\sqrt{3x - 20} $

Возведем обе части в квадрат. При этом левая часть $ x-5 $ должна быть неотрицательной, что выполняется в ОДЗ.
$ (x - 5)^2 = (2\sqrt{3x - 20})^2 $
$ x^2 - 10x + 25 = 4(3x - 20) $
$ x^2 - 10x + 25 = 12x - 80 $
$ x^2 - 22x + 105 = 0 $

Решим квадратное уравнение по формуле корней:
$ x = \frac{-(-22) \pm \sqrt{(-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 105}}{2 \cdot 1} = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 420}}{2} = \frac{22 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{22 \pm 8}{2} $
$ x_1 = \frac{22 + 8}{2} = 15 $
$ x_2 = \frac{22 - 8}{2} = 7 $

Проверяем корни по ОДЗ ($ x > \frac{20}{3} \approx 6.67 $):
$ x_1 = 15 $ удовлетворяет ОДЗ.
$ x_2 = 7 $ удовлетворяет ОДЗ.
Оба корня подходят.

Ответ: $ 7; 15 $

7) $ \lg(2x - 3)^2 - 2\lg(3x - 2) = 2 $

Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} (2x - 3)^2 > 0 \\ 3x - 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x - 3 \ne 0 \\ 3x > 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ne \frac{3}{2} \\ x > \frac{2}{3} \end{cases} $
ОДЗ: $ x \in (\frac{2}{3}; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty) $.

Используем свойство логарифма степени $ \log_a b^k = k\log_a b $ (с осторожностью для четных степеней: $ \log_a b^{2k} = 2k\log_a |b| $):
$ 2\lg|2x - 3| - 2\lg(3x - 2) = 2 $

Разделим обе части на 2:
$ \lg|2x - 3| - \lg(3x - 2) = 1 $
$ \lg\left(\frac{|2x - 3|}{3x - 2}\right) = 1 $

По определению десятичного логарифма:
$ \frac{|2x - 3|}{3x - 2} = 10^1 = 10 $
$ |2x - 3| = 10(3x - 2) $
$ |2x - 3| = 30x - 20 $

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
Случай 1: $ 2x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{3}{2} $. В этом случае $ |2x - 3| = 2x - 3 $.
$ 2x - 3 = 30x - 20 $
$ 17 = 28x $
$ x = \frac{17}{28} $. Этот корень не удовлетворяет условию $ x \ge \frac{3}{2} $, так как $ \frac{17}{28} < 1 $.

Случай 2: $ 2x - 3 < 0 \Rightarrow x < \frac{3}{2} $. В этом случае $ |2x - 3| = -(2x - 3) = 3 - 2x $.
$ 3 - 2x = 30x - 20 $
$ 23 = 32x $
$ x = \frac{23}{32} $.

Проверим, удовлетворяет ли корень $ x = \frac{23}{32} $ условиям этого случая и ОДЗ. Условие случая: $ x < \frac{3}{2} $. $ \frac{23}{32} \approx 0.718 $, а $ \frac{3}{2} = 1.5 $. Условие выполнено.
Условие ОДЗ: $ x > \frac{2}{3} $. $ \frac{2}{3} \approx 0.667 $. Условие выполнено.
Следовательно, корень $ x = \frac{23}{32} $ является решением.

Ответ: $ \frac{23}{32} $