Страница 41 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

37. Найдите область определения функции:

1) $y = \log_6(4x + 7);$

2) $y = \log_{0,1}(3 - 2x - x^2);$

3) $y = \lg(3x + 6) - 4\lg(7 - x);$

4) $y = \frac{8}{\log_3(x - 6)};$

5) $y = \log_{2-x}(x + 4);$

6) $y = \log_{\frac{1}{6}}(8x - 12 - x^2) + \frac{1}{\log_{\frac{1}{6}}(x - 4)}.$

1) $y = \log_6(4x + 7)$

Область определения логарифмической функции $y = \log_a f(x)$ находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $f(x) > 0$. В данном случае основание логарифма $6 > 0$ и $6 \neq 1$.

Составим и решим неравенство для аргумента функции:

$4x + 7 > 0$

$4x > -7$

$x > -\frac{7}{4}$

Таким образом, область определения функции – это интервал $(-\frac{7}{4}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\frac{7}{4}; +\infty)$.

2) $y = \log_{0,1}(3 - 2x - x^2)$

Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. Основание $0.1$ удовлетворяет условиям ($0.1 > 0$ и $0.1 \neq 1$).

$3 - 2x - x^2 > 0$

Умножим неравенство на $-1$ и сменим знак неравенства:

$x^2 + 2x - 3 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше нуля (то есть парабола находится ниже оси Ox) между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-3 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-3; 1)$.

3) $y = \lg(3x + 6) - 4\lg(7 - x)$

Область определения данной функции является пересечением областей определения двух логарифмических функций: $\lg(3x+6)$ и $\lg(7-x)$. Для этого необходимо, чтобы аргументы обоих логарифмов были положительны. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x + 6 > 0 \\ 7 - x > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1) $3x > -6 \implies x > -2$

2) $-x > -7 \implies x < 7$

Найдем пересечение решений: $x > -2$ и $x < 7$.

Таким образом, $-2 < x < 7$.

Ответ: $x \in (-2; 7)$.

4) $y = \frac{8}{\log_3(x - 6)}$

Область определения этой функции определяется двумя условиями:

1. Аргумент логарифма должен быть положительным: $x - 6 > 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\log_3(x - 6) \neq 0$.

Решим эти условия в виде системы:

$\begin{cases} x - 6 > 0 \\ \log_3(x - 6) \neq 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем:

$x > 6$

Решим второе условие. Логарифм равен нулю, когда его аргумент равен единице.

$\log_3(x - 6) \neq 0 \implies x - 6 \neq 3^0$

$x - 6 \neq 1$

$x \neq 7$

Объединяя оба условия, получаем, что $x$ должен быть больше 6 и не равен 7.

Ответ: $x \in (6; 7) \cup (7; +\infty)$.

5) $y = \log_{2-x}(x + 4)$

Для логарифмической функции, у которой основание также зависит от переменной, область определения находится из системы трех условий:

1. Аргумент логарифма положителен: $x + 4 > 0$.

2. Основание логарифма положительно: $2 - x > 0$.

3. Основание логарифма не равно единице: $2 - x \neq 1$.

Запишем и решим систему:

$\begin{cases} x + 4 > 0 \\ 2 - x > 0 \\ 2 - x \neq 1 \end{cases}$

1) $x > -4$

2) $-x > -2 \implies x < 2$

3) $-x \neq -1 \implies x \neq 1$

Объединим все условия: $x$ должен быть в интервале от -4 до 2, и при этом не должен быть равен 1.

Ответ: $x \in (-4; 1) \cup (1; 2)$.

6) $y = \log_{\frac{1}{6}}(8x - 12 - x^2) + \frac{1}{\log_{\frac{1}{6}}(x - 4)}$

Область определения этой функции является пересечением областей определения двух ее слагаемых. Составим систему условий.

Для первого слагаемого $\log_{\frac{1}{6}}(8x - 12 - x^2)$ аргумент должен быть положителен:

$8x - 12 - x^2 > 0$

Для второго слагаемого $\frac{1}{\log_{\frac{1}{6}}(x - 4)}$ аргумент логарифма должен быть положителен, а сам логарифм (знаменатель) не должен быть равен нулю:

$x - 4 > 0$

$\log_{\frac{1}{6}}(x - 4) \neq 0$

Решим систему из трех условий:

$\begin{cases} -x^2 + 8x - 12 > 0 \\ x - 4 > 0 \\ \log_{\frac{1}{6}}(x - 4) \neq 0 \end{cases}$

1) $-x^2 + 8x - 12 > 0 \implies x^2 - 8x + 12 < 0$. Корни уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$ равны $x_1 = 2, x_2 = 6$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $2 < x < 6$.

2) $x - 4 > 0 \implies x > 4$.

3) $\log_{\frac{1}{6}}(x - 4) \neq 0 \implies x - 4 \neq (\frac{1}{6})^0 \implies x - 4 \neq 1 \implies x \neq 5$.

Найдем пересечение всех полученных решений: $x \in (2; 6)$, $x > 4$ и $x \neq 5$.

Пересечение $x \in (2; 6)$ и $x > 4$ дает интервал $(4; 6)$.

Исключая из этого интервала точку $x = 5$, получаем объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in (4; 5) \cup (5; 6)$.

38. Постройте график функции:

1) $y = \log_{0.5}(x + 1);$

2) $y = \log_{0.5} x + 1;$

3) $y = -\log_{0.5} x;$

4) $y = \log_{0.5}(-x);$

5) $y = |\log_{2} x|;$

6) $y = \log_{2}|x|.$

1) $y = \log_{0,5}(x + 1)$

Для построения этого графика воспользуемся методом преобразования графика основной функции $y = \log_{0,5} x$.
1. Сначала построим график функции $y = \log_{0,5} x$. Это убывающая логарифмическая функция, так как основание логарифма $0,5 < 1$. Область определения функции: $x > 0$. График проходит через ключевые точки: $(0,5; 1)$, $(1; 0)$, $(2; -1)$. Вертикальной асимптотой является ось $Oy$ (прямая $x = 0$).
2. График функции $y = \log_{0,5}(x + 1)$ получается из графика $y = \log_{0,5} x$ путем его сдвига (параллельного переноса) на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$.
При этом сдвиге вертикальная асимптота также смещается на 1 единицу влево и становится прямой $x = -1$. Область определения новой функции: $x + 1 > 0$, то есть $x > -1$.
Ключевые точки смещаются: $(0,5; 1) \rightarrow (-0,5; 1)$, $(1; 0) \rightarrow (0; 0)$, $(2; -1) \rightarrow (1; -1)$.

Ответ: График функции $y = \log_{0,5} x$, сдвинутый на 1 единицу влево. Это убывающая функция с вертикальной асимптотой $x=-1$, проходящая через начало координат $(0, 0)$.

2) $y = \log_{0,5} x + 1$

Данный график также строится преобразованием графика функции $y = \log_{0,5} x$.
1. Строим график базовой функции $y = \log_{0,5} x$ (см. пункт 1).
2. График функции $y = \log_{0,5} x + 1$ получается из графика $y = \log_{0,5} x$ путем его сдвига на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.
Вертикальная асимптота $x = 0$ при этом не изменяется. Область определения остается $x > 0$.
Ключевые точки смещаются: $(0,5; 1) \rightarrow (0,5; 2)$, $(1; 0) \rightarrow (1; 1)$, $(2; -1) \rightarrow (2; 0)$.
Точка пересечения с осью $Ox$ находится из условия $y = 0$: $\log_{0,5} x + 1 = 0 \Rightarrow \log_{0,5} x = -1 \Rightarrow x = (0,5)^{-1} = 2$. Точка $(2,0)$.

Ответ: График функции $y = \log_{0,5} x$, сдвинутый на 1 единицу вверх. Это убывающая функция с вертикальной асимптотой $x=0$, проходящая через точку $(2, 0)$.

3) $y = -\log_{0,5} x$

График этой функции можно построить двумя способами.
Способ 1: Преобразование графика.1. Строим график функции $y = \log_{0,5} x$.
2. График функции $y = -\log_{0,5} x$ получается из графика $y = \log_{0,5} x$ путем его симметричного отражения относительно оси $Ox$.
Так как исходная функция была убывающей, отраженная функция будет возрастающей. Точка $(1; 0)$ останется на месте, а точки $(0,5; 1)$ и $(2; -1)$ перейдут в $(0,5; -1)$ и $(2; 1)$ соответственно.
Способ 2: Упрощение формулы. Используя свойство логарифма $-\log_a b = \log_{a^{-1}} b$, преобразуем функцию:$y = -\log_{0,5} x = \log_{0,5^{-1}} x = \log_2 x$.
Таким образом, нужно построить график функции $y = \log_2 x$. Это стандартная возрастающая логарифмическая функция с основанием $2 > 1$. График проходит через точки $(1; 0)$, $(2; 1)$, $(4; 2)$, $(0,5; -1)$. Вертикальная асимптота $x=0$.

Ответ: График функции $y = -\log_{0,5} x$ совпадает с графиком функции $y = \log_2 x$. Это возрастающая функция с вертикальной асимптотой $x=0$, проходящая через точку $(1, 0)$.

4) $y = \log_{0,5}(-x)$

График строится преобразованием графика функции $y = \log_{0,5} x$.
1. Строим график базовой функции $y = \log_{0,5} x$. Область определения $x > 0$.
2. График функции $y = \log_{0,5}(-x)$ получается из графика $y = \log_{0,5} x$ путем его симметричного отражения относительно оси $Oy$.
Область определения новой функции: $-x > 0$, то есть $x < 0$. Вертикальная асимптота $x=0$ сохраняется.
Ключевые точки отражаются: $(0,5; 1) \rightarrow (-0,5; 1)$, $(1; 0) \rightarrow (-1; 0)$, $(2; -1) \rightarrow (-2; -1)$.

Ответ: График функции $y = \log_{0,5} x$, отраженный симметрично относительно оси $Oy$. Это убывающая функция, определенная при $x<0$, с вертикальной асимптотой $x=0$ и проходящая через точку $(-1, 0)$.

5) $y = |\log_2 x|$

График строится преобразованием графика функции $y = \log_2 x$.
1. Строим график функции $y = \log_2 x$. Это возрастающая функция, проходящая через точки $(0,5; -1)$, $(1; 0)$, $(2; 1)$.
2. Применение модуля к значению функции ($|f(x)|$) означает, что часть графика, которая находится ниже оси $Ox$ (где $y < 0$), отражается симметрично вверх относительно оси $Ox$, а часть графика, которая находится выше или на оси $Ox$ (где $y \ge 0$), остается без изменений.
- Для $x \ge 1$, $\log_2 x \ge 0$, поэтому график совпадает с $y = \log_2 x$. - Для $0 < x < 1$, $\log_2 x < 0$, поэтому эта часть графика отражается относительно оси $Ox$. Например, точка $(0,5; -1)$ переходит в $(0,5; 1)$.
В точке $(1,0)$ график имеет излом (острую вершину).

Ответ: График функции $y = \log_2 x$, у которого часть, лежащая ниже оси $Ox$ (при $0 < x < 1$), отражена симметрично относительно оси $Ox$. График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и точку минимума $(1, 0)$.

6) $y = \log_2|x|$

Эта функция является четной, так как $y(-x) = \log_2|-x| = \log_2|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси $Oy$.
1. Сначала строим график для $x > 0$. При $x > 0$ функция имеет вид $y = \log_2 x$. Это стандартная возрастающая логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1; 0)$, $(2; 1)$, $(4; 2)$.
2. Затем, используя свойство четности, отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси $Oy$. Таким образом мы получаем вторую ветвь графика, для $x < 0$. Эта ветвь будет проходить через точки $(-1; 0)$, $(-2; 1)$, $(-4; 2)$.
Область определения функции: $|x| > 0$, то есть $x \neq 0$. Вертикальная асимптота $x=0$.

Ответ: График состоит из двух ветвей. Одна ветвь - это график $y=\log_2 x$ для $x>0$, а вторая - его симметричное отражение относительно оси $Oy$ для $x<0$. График симметричен относительно оси $Oy$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

39. Решите уравнение:

1) $\log_4 (3x + 1) = 2;$

2) $\log_{0,1} (x - 7) = -1;$

3) $\log_{\frac{1}{81}} (x^2 + 26x) = -0,75;$

4) $\log_4 \log_2 \log_{\sqrt{5}} x = \frac{1}{2};$

5) $\log_3 (3^x - 8) = 2 - x;$

6) $\log_x (2x^2 + 3x - 4) = 2.$

1) Исходное уравнение: $ \log_{4}(3x + 1) = 2 $.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$ 3x + 1 > 0 $
$ 3x > -1 $
$ x > -\frac{1}{3} $
Теперь решим уравнение, используя определение логарифма ($ \log_{a}b = c \Leftrightarrow a^c = b $):
$ 3x + 1 = 4^2 $
$ 3x + 1 = 16 $
$ 3x = 16 - 1 $
$ 3x = 15 $
$ x = \frac{15}{3} $
$ x = 5 $
Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $ 5 > -\frac{1}{3} $, корень подходит.
Ответ: 5

2) Исходное уравнение: $ \log_{0,1}(x - 7) = -1 $.
ОДЗ: $ x - 7 > 0 \Rightarrow x > 7 $.
По определению логарифма:
$ x - 7 = (0,1)^{-1} $
$ x - 7 = (\frac{1}{10})^{-1} $
$ x - 7 = 10 $
$ x = 10 + 7 $
$ x = 17 $
Проверяем корень по ОДЗ: $ 17 > 7 $. Корень подходит.
Ответ: 17

3) Исходное уравнение: $ \log_{\frac{1}{81}}(x^2 + 26x) = -0,75 $.
ОДЗ: $ x^2 + 26x > 0 \Rightarrow x(x + 26) > 0 $. Решая методом интервалов, получаем $ x \in (-\infty; -26) \cup (0; +\infty) $.
Преобразуем правую часть: $ -0,75 = -\frac{3}{4} $.
Решаем уравнение по определению логарифма:
$ x^2 + 26x = (\frac{1}{81})^{-\frac{3}{4}} $
$ x^2 + 26x = (81^{-1})^{-\frac{3}{4}} = 81^{\frac{3}{4}} $
$ x^2 + 26x = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^3 $
$ x^2 + 26x = 27 $
$ x^2 + 26x - 27 = 0 $
Решаем квадратное уравнение по теореме Виета:
$ x_1 + x_2 = -26 $
$ x_1 \cdot x_2 = -27 $
Отсюда $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -27 $.
Проверяем корни по ОДЗ:
$ x_1 = 1 $ принадлежит интервалу $ (0; +\infty) $, значит, является корнем.
$ x_2 = -27 $ принадлежит интервалу $ (-\infty; -26) $, значит, является корнем.
Ответ: -27; 1

4) Исходное уравнение: $ \log_{4}\log_{2}\log_{\sqrt{5}} x = \frac{1}{2} $.
Решаем уравнение последовательно, "раскрывая" логарифмы снаружи внутрь:
$ \log_{2}\log_{\sqrt{5}} x = 4^{\frac{1}{2}} $
$ \log_{2}\log_{\sqrt{5}} x = \sqrt{4} = 2 $
Теперь "раскрываем" следующий логарифм:
$ \log_{\sqrt{5}} x = 2^2 $
$ \log_{\sqrt{5}} x = 4 $
И последний логарифм:
$ x = (\sqrt{5})^4 $
$ x = (5^{\frac{1}{2}})^4 = 5^2 = 25 $
Проверим ОДЗ. Все аргументы логарифмов должны быть положительны:
1. $ x > 0 $
2. $ \log_{\sqrt{5}} x > 0 \Rightarrow x > (\sqrt{5})^0 \Rightarrow x > 1 $
3. $ \log_{2}\log_{\sqrt{5}} x > 0 \Rightarrow \log_{\sqrt{5}} x > 2^0 \Rightarrow \log_{\sqrt{5}} x > 1 \Rightarrow x > (\sqrt{5})^1 \Rightarrow x > \sqrt{5} $
Общее ОДЗ: $ x > \sqrt{5} $. Найденный корень $ x=25 $ удовлетворяет этому условию.
Ответ: 25

5) Исходное уравнение: $ \log_{3}(3^x - 8) = 2 - x $.
ОДЗ: $ 3^x - 8 > 0 \Rightarrow 3^x > 8 \Rightarrow x > \log_{3}8 $.
По определению логарифма:
$ 3^x - 8 = 3^{2-x} $
$ 3^x - 8 = \frac{3^2}{3^x} = \frac{9}{3^x} $
Сделаем замену переменной: пусть $ t = 3^x $. Так как $ 3^x > 0 $ для любого x, то $ t > 0 $.
$ t - 8 = \frac{9}{t} $
Умножим обе части на $ t $ (т.к. $ t \neq 0 $):
$ t^2 - 8t = 9 $
$ t^2 - 8t - 9 = 0 $
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета: $ t_1 = 9 $, $ t_2 = -1 $.
Корень $ t_2 = -1 $ не подходит, так как $ t > 0 $.
Возвращаемся к замене:
$ 3^x = 9 $
$ 3^x = 3^2 $
$ x = 2 $
Проверяем корень по ОДЗ. Нужно проверить, верно ли, что $ 2 > \log_{3}8 $. Это равносильно проверке $ 3^2 > 8 $, то есть $ 9 > 8 $. Неравенство верное, значит корень подходит.
Ответ: 2

6) Исходное уравнение: $ \log_{x}(2x^2 + 3x - 4) = 2 $.
ОДЗ для логарифма с переменным основанием:
1. Основание больше нуля: $ x > 0 $
2. Основание не равно единице: $ x \neq 1 $
3. Аргумент больше нуля: $ 2x^2 + 3x - 4 > 0 $
Решаем уравнение по определению логарифма:
$ 2x^2 + 3x - 4 = x^2 $
$ 2x^2 - x^2 + 3x - 4 = 0 $
$ x^2 + 3x - 4 = 0 $
Решаем квадратное уравнение по теореме Виета:
$ x_1 + x_2 = -3 $
$ x_1 \cdot x_2 = -4 $
Отсюда $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -4 $.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ:
- Корень $ x_1 = 1 $ не удовлетворяет условию $ x \neq 1 $.
- Корень $ x_2 = -4 $ не удовлетворяет условию $ x > 0 $.
Оба найденных значения не являются решениями уравнения, так как не входят в область допустимых значений.
Ответ: нет решений

40. Решите уравнение:

1) $log_{1,6}(3x - 16) = log_{1,6}(x - 4);$

2) $log_{14}(4x - 10) = log_{14}(3x - 8);$

3) $log_{\frac{1}{3}}(2x^2 + 4x - 7) = log_{\frac{1}{3}}(x + 2);$

4) $2lg(-x) = lg(2x + 24).$

1) $\log_{1.6}(3x - 16) = \log_{1.6}(x - 4)$
Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы. При этом необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ), в которой аргументы обоих логарифмов должны быть положительными.
Составим систему:
$\begin{cases} 3x - 16 = x - 4 \\ x - 4 > 0 \end{cases}$
Из второго неравенства системы (которое является более строгим) находим ОДЗ: $x > 4$.
Теперь решаем уравнение:
$3x - x = 16 - 4$
$2x = 12$
$x = 6$
Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень условию ОДЗ: $6 > 4$. Это верно, следовательно, корень подходит.
Ответ: 6

2) $\log_{14}(4x - 10) = \log_{14}(3x - 8)$
Приравниваем аргументы логарифмов, так как их основания равны, и учитываем ОДЗ.
$\begin{cases} 4x - 10 = 3x - 8 \\ 3x - 8 > 0 \end{cases}$
Из второго неравенства находим ОДЗ: $3x > 8 \Rightarrow x > \frac{8}{3}$.
Решаем уравнение:
$4x - 3x = 10 - 8$
$x = 2$
Проверяем, удовлетворяет ли корень $x=2$ условию ОДЗ: $2 > \frac{8}{3}$. Это неверно, так как $2 = \frac{6}{3}$, а $\frac{6}{3} < \frac{8}{3}$.
Поскольку корень не входит в область допустимых значений, уравнение решений не имеет.
Ответ: корней нет

3) $\log_{\frac{1}{3}}(2x^2 + 4x - 7) = \log_{\frac{1}{3}}(x + 2)$
Приравниваем аргументы логарифмов и добавляем условие ОДЗ.
$\begin{cases} 2x^2 + 4x - 7 = x + 2 \\ x + 2 > 0 \end{cases}$
Из неравенства получаем ОДЗ: $x > -2$.
Решаем уравнение:
$2x^2 + 4x - x - 7 - 2 = 0$
$2x^2 + 3x - 9 = 0$
Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81 = 9^2$.
Находим корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$
Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > -2$):
$x_1 = 1.5$ удовлетворяет условию ($1.5 > -2$).
$x_2 = -3$ не удовлетворяет условию ($-3 \not> -2$).
Следовательно, решением является только $x = 1.5$.
Ответ: 1.5

4) $2\lg(-x) = \lg(2x + 24)$
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} -x > 0 \\ 2x + 24 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ 2x > -24 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ x > -12 \end{cases}$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-12; 0)$.
Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство логарифма $n\log_a b = \log_a b^n$:
$\lg((-x)^2) = \lg(2x + 24)$
$\lg(x^2) = \lg(2x + 24)$
Теперь приравняем аргументы:
$x^2 = 2x + 24$
$x^2 - 2x - 24 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 2$
$x_1 \cdot x_2 = -24$
Корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = -4$.
Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ $x \in (-12; 0)$:
$x_1 = 6$ не принадлежит ОДЗ, так как $6 \not< 0$.
$x_2 = -4$ принадлежит ОДЗ, так как $-12 < -4 < 0$.
Следовательно, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: -4

41. Решите уравнение:

1) $ \log_2(2x - 1) + \log_2(x - 4) = 2; $

2) $ \log_6(x - 3) = 1 - \log_6(x + 2); $

3) $ \lg x + \lg (x + 1) = \lg (10 - 6x) - \lg 2; $

4) $ \log_{\sqrt{5}}(4x - 6) - \log_{\sqrt{5}}(2x - 2) = 2; $

5) $ \log_6(x - 2) + 2\log_{36}(x - 11) = 2; $

6) $ \log_3(x - 5) - \log_3 2 - \frac{1}{2}\log_3(3x - 20) = 0; $

7) $ \lg(2x - 3)^2 - 2\lg(3x - 2) = 2. $

1) $ \log_2(2x - 1) + \log_2(x - 4) = 2 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ x - 4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ x > 4 \end{cases} $
Следовательно, ОДЗ: $ x \in (4; +\infty) $.

Используем свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $:
$ \log_2((2x - 1)(x - 4)) = 2 $

По определению логарифма $ \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b $:
$ (2x - 1)(x - 4) = 2^2 $
$ 2x^2 - 8x - x + 4 = 4 $
$ 2x^2 - 9x = 0 $
$ x(2x - 9) = 0 $

Получаем два корня:
$ x_1 = 0 $
$ 2x_2 - 9 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{9}{2} = 4.5 $

Проверяем корни по ОДЗ ($ x > 4 $):
$ x_1 = 0 $ не удовлетворяет ОДЗ.
$ x_2 = 4.5 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 4.5 $

2) $ \log_6(x - 3) = 1 - \log_6(x + 2) $

Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x - 3 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 3 \\ x > -2 \end{cases} $
Следовательно, ОДЗ: $ x \in (3; +\infty) $.

Перенесем логарифм в левую часть и воспользуемся свойством суммы логарифмов:
$ \log_6(x - 3) + \log_6(x + 2) = 1 $
$ \log_6((x - 3)(x + 2)) = 1 $

По определению логарифма:
$ (x - 3)(x + 2) = 6^1 $
$ x^2 + 2x - 3x - 6 = 6 $
$ x^2 - x - 12 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$ x_1 = 4 $
$ x_2 = -3 $

Проверяем корни по ОДЗ ($ x > 3 $):
$ x_1 = 4 $ удовлетворяет ОДЗ.
$ x_2 = -3 $ не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 4 $

3) $ \lg x + \lg(x + 1) = \lg(10 - 6x) - \lg 2 $

Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 0 \\ x + 1 > 0 \\ 10 - 6x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > -1 \\ 6x < 10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x < \frac{5}{3} \end{cases} $
Следовательно, ОДЗ: $ x \in (0; \frac{5}{3}) $.

Используем свойства логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $ и $ \log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c}) $:
$ \lg(x(x + 1)) = \lg(\frac{10 - 6x}{2}) $

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$ x(x + 1) = \frac{10 - 6x}{2} $
$ x^2 + x = 5 - 3x $
$ x^2 + 4x - 5 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$ x_1 = 1 $
$ x_2 = -5 $

Проверяем корни по ОДЗ ($ 0 < x < \frac{5}{3} $):
$ x_1 = 1 $ удовлетворяет ОДЗ.
$ x_2 = -5 $ не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 1 $

4) $ \log_{\sqrt{5}}(4^x - 6) - \log_{\sqrt{5}}(2^x - 2) = 2 $

Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} 4^x - 6 > 0 \\ 2^x - 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (2^x)^2 > 6 \\ 2^x > 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2^x > \sqrt{6} \\ x > 1 \end{cases} $
Так как $ \sqrt{6} > 2 $, более строгим является условие $ 2^x > \sqrt{6} $.

Используем свойство разности логарифмов:
$ \log_{\sqrt{5}}\left(\frac{4^x - 6}{2^x - 2}\right) = 2 $

По определению логарифма:
$ \frac{4^x - 6}{2^x - 2} = (\sqrt{5})^2 $
$ \frac{4^x - 6}{2^x - 2} = 5 $

Сделаем замену $ t = 2^x $, где $ t > \sqrt{6} $ согласно ОДЗ.
$ \frac{t^2 - 6}{t - 2} = 5 $
$ t^2 - 6 = 5(t - 2) $
$ t^2 - 6 = 5t - 10 $
$ t^2 - 5t + 4 = 0 $

По теореме Виета:
$ t_1 = 4 $
$ t_2 = 1 $

Проверяем корни по условию $ t > \sqrt{6} $ (где $ \sqrt{6} \approx 2.45 $):
$ t_1 = 4 $ удовлетворяет условию.
$ t_2 = 1 $ не удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для $ t = 4 $:
$ 2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x = 2 $

Ответ: $ 2 $

5) $ \log_6(x - 2) + 2\log_{36}(x - 11) = 2 $

Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ x - 11 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x > 11 \end{cases} $
Следовательно, ОДЗ: $ x \in (11; +\infty) $.

Приведем второй логарифм к основанию 6, используя формулу $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b $:
$ \log_{36}(x - 11) = \log_{6^2}(x - 11) = \frac{1}{2}\log_6(x - 11) $

Подставим в уравнение:
$ \log_6(x - 2) + 2 \cdot \frac{1}{2}\log_6(x - 11) = 2 $
$ \log_6(x - 2) + \log_6(x - 11) = 2 $

Используем свойство суммы логарифмов:
$ \log_6((x - 2)(x - 11)) = 2 $

По определению логарифма:
$ (x - 2)(x - 11) = 6^2 $
$ x^2 - 11x - 2x + 22 = 36 $
$ x^2 - 13x - 14 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$ x_1 = 14 $
$ x_2 = -1 $

Проверяем корни по ОДЗ ($ x > 11 $):
$ x_1 = 14 $ удовлетворяет ОДЗ.
$ x_2 = -1 $ не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 14 $

6) $ \log_3(x - 5) - \log_3 2 - \frac{1}{2}\log_3(3x - 20) = 0 $

Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x - 5 > 0 \\ 3x - 20 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 5 \\ x > \frac{20}{3} \end{cases} $
Так как $ \frac{20}{3} \approx 6.67 $, ОДЗ: $ x \in (\frac{20}{3}; +\infty) $.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:
$ \log_3(x - 5) = \log_3 2 + \frac{1}{2}\log_3(3x - 20) $
$ \log_3(x - 5) = \log_3 2 + \log_3\sqrt{3x - 20} $
$ \log_3(x - 5) = \log_3(2\sqrt{3x - 20}) $

Приравниваем аргументы:
$ x - 5 = 2\sqrt{3x - 20} $

Возведем обе части в квадрат. При этом левая часть $ x-5 $ должна быть неотрицательной, что выполняется в ОДЗ.
$ (x - 5)^2 = (2\sqrt{3x - 20})^2 $
$ x^2 - 10x + 25 = 4(3x - 20) $
$ x^2 - 10x + 25 = 12x - 80 $
$ x^2 - 22x + 105 = 0 $

Решим квадратное уравнение по формуле корней:
$ x = \frac{-(-22) \pm \sqrt{(-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 105}}{2 \cdot 1} = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 420}}{2} = \frac{22 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{22 \pm 8}{2} $
$ x_1 = \frac{22 + 8}{2} = 15 $
$ x_2 = \frac{22 - 8}{2} = 7 $

Проверяем корни по ОДЗ ($ x > \frac{20}{3} \approx 6.67 $):
$ x_1 = 15 $ удовлетворяет ОДЗ.
$ x_2 = 7 $ удовлетворяет ОДЗ.
Оба корня подходят.

Ответ: $ 7; 15 $

7) $ \lg(2x - 3)^2 - 2\lg(3x - 2) = 2 $

Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} (2x - 3)^2 > 0 \\ 3x - 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x - 3 \ne 0 \\ 3x > 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ne \frac{3}{2} \\ x > \frac{2}{3} \end{cases} $
ОДЗ: $ x \in (\frac{2}{3}; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty) $.

Используем свойство логарифма степени $ \log_a b^k = k\log_a b $ (с осторожностью для четных степеней: $ \log_a b^{2k} = 2k\log_a |b| $):
$ 2\lg|2x - 3| - 2\lg(3x - 2) = 2 $

Разделим обе части на 2:
$ \lg|2x - 3| - \lg(3x - 2) = 1 $
$ \lg\left(\frac{|2x - 3|}{3x - 2}\right) = 1 $

По определению десятичного логарифма:
$ \frac{|2x - 3|}{3x - 2} = 10^1 = 10 $
$ |2x - 3| = 10(3x - 2) $
$ |2x - 3| = 30x - 20 $

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
Случай 1: $ 2x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{3}{2} $. В этом случае $ |2x - 3| = 2x - 3 $.
$ 2x - 3 = 30x - 20 $
$ 17 = 28x $
$ x = \frac{17}{28} $. Этот корень не удовлетворяет условию $ x \ge \frac{3}{2} $, так как $ \frac{17}{28} < 1 $.

Случай 2: $ 2x - 3 < 0 \Rightarrow x < \frac{3}{2} $. В этом случае $ |2x - 3| = -(2x - 3) = 3 - 2x $.
$ 3 - 2x = 30x - 20 $
$ 23 = 32x $
$ x = \frac{23}{32} $.

Проверим, удовлетворяет ли корень $ x = \frac{23}{32} $ условиям этого случая и ОДЗ. Условие случая: $ x < \frac{3}{2} $. $ \frac{23}{32} \approx 0.718 $, а $ \frac{3}{2} = 1.5 $. Условие выполнено.
Условие ОДЗ: $ x > \frac{2}{3} $. $ \frac{2}{3} \approx 0.667 $. Условие выполнено.
Следовательно, корень $ x = \frac{23}{32} $ является решением.

Ответ: $ \frac{23}{32} $