Номер 40, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

40. Решите уравнение:

1) $log_{1,6}(3x - 16) = log_{1,6}(x - 4);$

2) $log_{14}(4x - 10) = log_{14}(3x - 8);$

3) $log_{\frac{1}{3}}(2x^2 + 4x - 7) = log_{\frac{1}{3}}(x + 2);$

4) $2lg(-x) = lg(2x + 24).$

1) $\log_{1.6}(3x - 16) = \log_{1.6}(x - 4)$
Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы. При этом необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ), в которой аргументы обоих логарифмов должны быть положительными.
Составим систему:
$\begin{cases} 3x - 16 = x - 4 \\ x - 4 > 0 \end{cases}$
Из второго неравенства системы (которое является более строгим) находим ОДЗ: $x > 4$.
Теперь решаем уравнение:
$3x - x = 16 - 4$
$2x = 12$
$x = 6$
Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень условию ОДЗ: $6 > 4$. Это верно, следовательно, корень подходит.
Ответ: 6

2) $\log_{14}(4x - 10) = \log_{14}(3x - 8)$
Приравниваем аргументы логарифмов, так как их основания равны, и учитываем ОДЗ.
$\begin{cases} 4x - 10 = 3x - 8 \\ 3x - 8 > 0 \end{cases}$
Из второго неравенства находим ОДЗ: $3x > 8 \Rightarrow x > \frac{8}{3}$.
Решаем уравнение:
$4x - 3x = 10 - 8$
$x = 2$
Проверяем, удовлетворяет ли корень $x=2$ условию ОДЗ: $2 > \frac{8}{3}$. Это неверно, так как $2 = \frac{6}{3}$, а $\frac{6}{3} < \frac{8}{3}$.
Поскольку корень не входит в область допустимых значений, уравнение решений не имеет.
Ответ: корней нет

3) $\log_{\frac{1}{3}}(2x^2 + 4x - 7) = \log_{\frac{1}{3}}(x + 2)$
Приравниваем аргументы логарифмов и добавляем условие ОДЗ.
$\begin{cases} 2x^2 + 4x - 7 = x + 2 \\ x + 2 > 0 \end{cases}$
Из неравенства получаем ОДЗ: $x > -2$.
Решаем уравнение:
$2x^2 + 4x - x - 7 - 2 = 0$
$2x^2 + 3x - 9 = 0$
Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81 = 9^2$.
Находим корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$
Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > -2$):
$x_1 = 1.5$ удовлетворяет условию ($1.5 > -2$).
$x_2 = -3$ не удовлетворяет условию ($-3 \not> -2$).
Следовательно, решением является только $x = 1.5$.
Ответ: 1.5

4) $2\lg(-x) = \lg(2x + 24)$
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} -x > 0 \\ 2x + 24 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ 2x > -24 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ x > -12 \end{cases}$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-12; 0)$.
Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство логарифма $n\log_a b = \log_a b^n$:
$\lg((-x)^2) = \lg(2x + 24)$
$\lg(x^2) = \lg(2x + 24)$
Теперь приравняем аргументы:
$x^2 = 2x + 24$
$x^2 - 2x - 24 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 2$
$x_1 \cdot x_2 = -24$
Корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = -4$.
Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ $x \in (-12; 0)$:
$x_1 = 6$ не принадлежит ОДЗ, так как $6 \not< 0$.
$x_2 = -4$ принадлежит ОДЗ, так как $-12 < -4 < 0$.
Следовательно, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: -4