Номер 38, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

38. Постройте график функции:

1) $y = \log_{0.5}(x + 1);$

2) $y = \log_{0.5} x + 1;$

3) $y = -\log_{0.5} x;$

4) $y = \log_{0.5}(-x);$

5) $y = |\log_{2} x|;$

6) $y = \log_{2}|x|.$

1) $y = \log_{0,5}(x + 1)$

Для построения этого графика воспользуемся методом преобразования графика основной функции $y = \log_{0,5} x$.
1. Сначала построим график функции $y = \log_{0,5} x$. Это убывающая логарифмическая функция, так как основание логарифма $0,5 < 1$. Область определения функции: $x > 0$. График проходит через ключевые точки: $(0,5; 1)$, $(1; 0)$, $(2; -1)$. Вертикальной асимптотой является ось $Oy$ (прямая $x = 0$).
2. График функции $y = \log_{0,5}(x + 1)$ получается из графика $y = \log_{0,5} x$ путем его сдвига (параллельного переноса) на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$.
При этом сдвиге вертикальная асимптота также смещается на 1 единицу влево и становится прямой $x = -1$. Область определения новой функции: $x + 1 > 0$, то есть $x > -1$.
Ключевые точки смещаются: $(0,5; 1) \rightarrow (-0,5; 1)$, $(1; 0) \rightarrow (0; 0)$, $(2; -1) \rightarrow (1; -1)$.

Ответ: График функции $y = \log_{0,5} x$, сдвинутый на 1 единицу влево. Это убывающая функция с вертикальной асимптотой $x=-1$, проходящая через начало координат $(0, 0)$.

2) $y = \log_{0,5} x + 1$

Данный график также строится преобразованием графика функции $y = \log_{0,5} x$.
1. Строим график базовой функции $y = \log_{0,5} x$ (см. пункт 1).
2. График функции $y = \log_{0,5} x + 1$ получается из графика $y = \log_{0,5} x$ путем его сдвига на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.
Вертикальная асимптота $x = 0$ при этом не изменяется. Область определения остается $x > 0$.
Ключевые точки смещаются: $(0,5; 1) \rightarrow (0,5; 2)$, $(1; 0) \rightarrow (1; 1)$, $(2; -1) \rightarrow (2; 0)$.
Точка пересечения с осью $Ox$ находится из условия $y = 0$: $\log_{0,5} x + 1 = 0 \Rightarrow \log_{0,5} x = -1 \Rightarrow x = (0,5)^{-1} = 2$. Точка $(2,0)$.

Ответ: График функции $y = \log_{0,5} x$, сдвинутый на 1 единицу вверх. Это убывающая функция с вертикальной асимптотой $x=0$, проходящая через точку $(2, 0)$.

3) $y = -\log_{0,5} x$

График этой функции можно построить двумя способами.
Способ 1: Преобразование графика.1. Строим график функции $y = \log_{0,5} x$.
2. График функции $y = -\log_{0,5} x$ получается из графика $y = \log_{0,5} x$ путем его симметричного отражения относительно оси $Ox$.
Так как исходная функция была убывающей, отраженная функция будет возрастающей. Точка $(1; 0)$ останется на месте, а точки $(0,5; 1)$ и $(2; -1)$ перейдут в $(0,5; -1)$ и $(2; 1)$ соответственно.
Способ 2: Упрощение формулы. Используя свойство логарифма $-\log_a b = \log_{a^{-1}} b$, преобразуем функцию:$y = -\log_{0,5} x = \log_{0,5^{-1}} x = \log_2 x$.
Таким образом, нужно построить график функции $y = \log_2 x$. Это стандартная возрастающая логарифмическая функция с основанием $2 > 1$. График проходит через точки $(1; 0)$, $(2; 1)$, $(4; 2)$, $(0,5; -1)$. Вертикальная асимптота $x=0$.

Ответ: График функции $y = -\log_{0,5} x$ совпадает с графиком функции $y = \log_2 x$. Это возрастающая функция с вертикальной асимптотой $x=0$, проходящая через точку $(1, 0)$.

4) $y = \log_{0,5}(-x)$

График строится преобразованием графика функции $y = \log_{0,5} x$.
1. Строим график базовой функции $y = \log_{0,5} x$. Область определения $x > 0$.
2. График функции $y = \log_{0,5}(-x)$ получается из графика $y = \log_{0,5} x$ путем его симметричного отражения относительно оси $Oy$.
Область определения новой функции: $-x > 0$, то есть $x < 0$. Вертикальная асимптота $x=0$ сохраняется.
Ключевые точки отражаются: $(0,5; 1) \rightarrow (-0,5; 1)$, $(1; 0) \rightarrow (-1; 0)$, $(2; -1) \rightarrow (-2; -1)$.

Ответ: График функции $y = \log_{0,5} x$, отраженный симметрично относительно оси $Oy$. Это убывающая функция, определенная при $x<0$, с вертикальной асимптотой $x=0$ и проходящая через точку $(-1, 0)$.

5) $y = |\log_2 x|$

График строится преобразованием графика функции $y = \log_2 x$.
1. Строим график функции $y = \log_2 x$. Это возрастающая функция, проходящая через точки $(0,5; -1)$, $(1; 0)$, $(2; 1)$.
2. Применение модуля к значению функции ($|f(x)|$) означает, что часть графика, которая находится ниже оси $Ox$ (где $y < 0$), отражается симметрично вверх относительно оси $Ox$, а часть графика, которая находится выше или на оси $Ox$ (где $y \ge 0$), остается без изменений.
- Для $x \ge 1$, $\log_2 x \ge 0$, поэтому график совпадает с $y = \log_2 x$. - Для $0 < x < 1$, $\log_2 x < 0$, поэтому эта часть графика отражается относительно оси $Ox$. Например, точка $(0,5; -1)$ переходит в $(0,5; 1)$.
В точке $(1,0)$ график имеет излом (острую вершину).

Ответ: График функции $y = \log_2 x$, у которого часть, лежащая ниже оси $Ox$ (при $0 < x < 1$), отражена симметрично относительно оси $Ox$. График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и точку минимума $(1, 0)$.

6) $y = \log_2|x|$

Эта функция является четной, так как $y(-x) = \log_2|-x| = \log_2|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси $Oy$.
1. Сначала строим график для $x > 0$. При $x > 0$ функция имеет вид $y = \log_2 x$. Это стандартная возрастающая логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1; 0)$, $(2; 1)$, $(4; 2)$.
2. Затем, используя свойство четности, отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси $Oy$. Таким образом мы получаем вторую ветвь графика, для $x < 0$. Эта ветвь будет проходить через точки $(-1; 0)$, $(-2; 1)$, $(-4; 2)$.
Область определения функции: $|x| > 0$, то есть $x \neq 0$. Вертикальная асимптота $x=0$.

Ответ: График состоит из двух ветвей. Одна ветвь - это график $y=\log_2 x$ для $x>0$, а вторая - его симметричное отражение относительно оси $Oy$ для $x<0$. График симметричен относительно оси $Oy$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.