Номер 43, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

43. Решите уравнение:

1) $x^{\log_3 x-4} = \frac{1}{27}$;

2) $x^{\lg x} = 1000x^2$;

3) $6^{\log_6^2 x} + x^{\log_6 x} = 12$;

4) $x^{\log_{11} 7} + 7^{\log_{11} x} = 98$.

1) $x^{\log_3 x - 4} = \frac{1}{27}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

$\log_3(x^{\log_3 x - 4}) = \log_3(\frac{1}{27})$

Используя свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \log_a b$, получаем:

$(\log_3 x - 4) \log_3 x = \log_3(3^{-3})$

$(\log_3 x - 4) \log_3 x = -3$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_3 x$.

$(t - 4)t = -3$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Вернемся к исходной переменной:

1. Если $t = 1$, то $\log_3 x = 1$, откуда $x = 3^1 = 3$.

2. Если $t = 3$, то $\log_3 x = 3$, откуда $x = 3^3 = 27$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $3; 27$.

2) $x^{\lg x} = 1000x^2$

ОДЗ: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 (десятичный логарифм):

$\lg(x^{\lg x}) = \lg(1000x^2)$

Используя свойства логарифмов $\log_a(b^c) = c \log_a b$ и $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$:

$(\lg x)(\lg x) = \lg(1000) + \lg(x^2)$

$(\lg x)^2 = 3 + 2\lg x$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$.

$t^2 = 3 + 2t$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Вернемся к исходной переменной:

1. Если $t = 3$, то $\lg x = 3$, откуда $x = 10^3 = 1000$.

2. Если $t = -1$, то $\lg x = -1$, откуда $x = 10^{-1} = 0.1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $1000; 0.1$.

3) $6^{\log_6^2 x} + x^{\log_6 x} = 12$

ОДЗ: $x > 0$.

Используем основное логарифмическое тождество в виде $a = b^{\log_b a}$. Представим $x$ как $6^{\log_6 x}$.

Тогда второе слагаемое $x^{\log_6 x}$ можно преобразовать:

$x^{\log_6 x} = (6^{\log_6 x})^{\log_6 x} = 6^{(\log_6 x) \cdot (\log_6 x)} = 6^{(\log_6 x)^2} = 6^{\log_6^2 x}$.

Таким образом, оба слагаемых в левой части уравнения равны.

Уравнение принимает вид:

$6^{\log_6^2 x} + 6^{\log_6^2 x} = 12$

$2 \cdot 6^{\log_6^2 x} = 12$

$6^{\log_6^2 x} = 6$

$6^{\log_6^2 x} = 6^1$

Приравниваем показатели степени:

$\log_6^2 x = 1$

$(\log_6 x)^2 = 1$

Отсюда следует, что $\log_6 x = 1$ или $\log_6 x = -1$.

1. Если $\log_6 x = 1$, то $x = 6^1 = 6$.

2. Если $\log_6 x = -1$, то $x = 6^{-1} = \frac{1}{6}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $6; \frac{1}{6}$.

4) $x^{\log_{11} 7} + 7^{\log_{11} x} = 98$

ОДЗ: $x > 0$.

Воспользуемся свойством логарифма $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$.

Применим это свойство к первому слагаемому:

$x^{\log_{11} 7} = 7^{\log_{11} x}$

Теперь уравнение можно переписать:

$7^{\log_{11} x} + 7^{\log_{11} x} = 98$

$2 \cdot 7^{\log_{11} x} = 98$

$7^{\log_{11} x} = 49$

Представим 49 как степень 7:

$7^{\log_{11} x} = 7^2$

Приравниваем показатели степени:

$\log_{11} x = 2$

Отсюда $x = 11^2 = 121$.

Корень удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $121$.