Номер 49, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

49. Решите неравенство:

1) $log_{1/4} \frac{35-x}{x} \le -\frac{1}{2}$

2) $log_{3} \frac{2x+1}{x+1} \le 1$

3) $log_{0.5} \left( log_{8} \frac{x-2}{3-x} \right) \ge 0$

1) Решим неравенство $ \log_{\frac{1}{4}} \frac{35-x}{x} \le -\frac{1}{2} $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$ \frac{35-x}{x} > 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $35-x=0 \implies x=35$. Нуль знаменателя: $x=0$. Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения на интервалах. Получаем, что неравенство выполняется при $x \in (0, 35)$. Это наша ОДЗ.

Теперь решим само логарифмическое неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $ \frac{1}{4} $:

$ -\frac{1}{2} = \log_{\frac{1}{4}} \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} = \log_{\frac{1}{4}} (4^{\frac{1}{2}}) = \log_{\frac{1}{4}} 2 $

Неравенство принимает вид:

$ \log_{\frac{1}{4}} \frac{35-x}{x} \le \log_{\frac{1}{4}} 2 $

Так как основание логарифма $ a = \frac{1}{4} $ меньше 1 ($0 < a < 1$), логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$ \frac{35-x}{x} \ge 2 $

Решим полученное рациональное неравенство:

$ \frac{35-x}{x} - 2 \ge 0 $

$ \frac{35-x-2x}{x} \ge 0 $

$ \frac{35-3x}{x} \ge 0 $

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $x \in (0, \frac{35}{3}]$.

Наконец, найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$ (0, \frac{35}{3}] \cap (0, 35) = (0, \frac{35}{3}] $

Ответ: $ x \in (0, \frac{35}{3}] $.

2) Решим неравенство $ \log_{3} \frac{2x+1}{x+1} \le 1 $.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$ \frac{2x+1}{x+1} > 0 $

Методом интервалов находим, что ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-\frac{1}{2}, +\infty)$.

Теперь решим неравенство. Представим 1 как логарифм по основанию 3: $1 = \log_3 3$.

$ \log_{3} \frac{2x+1}{x+1} \le \log_3 3 $

Основание логарифма $a=3$ больше 1, поэтому логарифмическая функция возрастающая, и при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$ \frac{2x+1}{x+1} \le 3 $

Решим это рациональное неравенство:

$ \frac{2x+1}{x+1} - 3 \le 0 $

$ \frac{2x+1 - 3(x+1)}{x+1} \le 0 $

$ \frac{2x+1 - 3x - 3}{x+1} \le 0 $

$ \frac{-x-2}{x+1} \le 0 $

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

$ \frac{x+2}{x+1} \ge 0 $

Методом интервалов получаем решение: $x \in (-\infty, -2] \cup (-1, +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (-\infty, -1) \cup (-\frac{1}{2}, +\infty)$.

Пересечение множеств $(-\infty, -2] \cup (-1, +\infty)$ и $(-\infty, -1) \cup (-\frac{1}{2}, +\infty)$ дает итоговый результат.

Ответ: $ x \in (-\infty, -2] \cup (-\frac{1}{2}, +\infty) $.

3) Решим неравенство $ \log_{0.5} \log_{8} \frac{x-2}{3-x} > 0 $.

Это сложное логарифмическое неравенство. Основание внешнего логарифма $a = 0.5$ меньше 1, поэтому при снятии логарифма знак неравенства меняется. Также аргумент внешнего логарифма должен быть положительным.

$ \log_{0.5} \log_{8} \frac{x-2}{3-x} > 0 \implies 0 < \log_{8} \frac{x-2}{3-x} < 0.5^0 $

$ 0 < \log_{8} \frac{x-2}{3-x} < 1 $

Теперь рассмотрим это двойное неравенство. Основание внутреннего логарифма $a=8$ больше 1, поэтому функция возрастающая и знаки неравенств сохраняются при потенцировании:

$ 8^0 < \frac{x-2}{3-x} < 8^1 $

$ 1 < \frac{x-2}{3-x} < 8 $

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x-2}{3-x} > 1 \\ \frac{x-2}{3-x} < 8 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$ \frac{x-2}{3-x} - 1 > 0 \implies \frac{x-2-(3-x)}{3-x} > 0 \implies \frac{2x-5}{3-x} > 0 $

Методом интервалов получаем $x \in (2.5, 3)$.

Решим второе неравенство:

$ \frac{x-2}{3-x} - 8 < 0 \implies \frac{x-2-8(3-x)}{3-x} < 0 \implies \frac{x-2-24+8x}{3-x} < 0 \implies \frac{9x-26}{3-x} < 0 $

Методом интервалов получаем $x \in (-\infty, \frac{26}{9}) \cup (3, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (2.5, 3)$ и $x \in (-\infty, \frac{26}{9}) \cup (3, +\infty)$.

Учитывая, что $2.5 = \frac{5}{2} = \frac{22.5}{9}$, а $3 = \frac{27}{9}$, и $22.5 < 26 < 27$, пересечением является интервал $ (2.5, \frac{26}{9}) $.

Ответ: $ x \in (2.5, \frac{26}{9}) $.